1 线性近似 linear approximation
- 其中
仅在 接近 时成立
以
且 为前提,几种常见的函数线性近似:
线性近似能起到简化函数的作用
2 线性近似举例
例题 $$\begin{align} e^{-3x}(1+x)^{\frac{-1}{2}} & \approx (1-3x)(1-\frac{1}{2}x) \ \ & = 1-3x-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}x^2 \ \
\text {忽略二次项可得}
\ \ & \approx 1-\frac{7}{2}x \end{align}$$
应用-GPS信号偏移补偿
- 狭义相对论(special relativity)存在时间膨胀(time dilation)的概念
- 卫星距离地面过远,需要考虑修正时间膨胀导致的误差
- 修正方法为
,其中 表示光速 - 直接修正
计算量太大,可以考虑近似计算 - 令
,代入上式可得
- 设计GPS的工程师利用
- 判断时间差和卫星发出电磁波的频率改变
- 然后进行信号偏移的补偿,使人们更好地接收信号
3 二阶线性 quadratic approximation
- 相比于线性近似,二阶近似所得数值更精确
- 相比于线性近似,二阶近似所得几何图像与原图像更相似
- 相比于线性近似,二阶近似所需消耗的计算量更多
以
且 为前提,几种常见的函数二阶近似:
4 参考