8.线性近似和二阶近似

1 线性近似 linear approximation

f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)

  • 其中仅在x接近x0时成立

x0=0x0为前提,几种常见的函数线性近似:

  • sin(x)x
  • cos(x)1
  • ex1+x
  • lm(1+x)x
  • (1+x)r1+rx

线性近似能起到简化函数的作用

2 线性近似举例

例题 $$\begin{align} e^{-3x}(1+x)^{\frac{-1}{2}} & \approx (1-3x)(1-\frac{1}{2}x) \ \ & = 1-3x-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}x^2 \ \

\text {忽略二次项可得}

\ \ & \approx 1-\frac{7}{2}x \end{align}$$

应用-GPS信号偏移补偿

  • 狭义相对论(special relativity)存在时间膨胀(time dilation)的概念
  • 卫星距离地面过远,需要考虑修正时间膨胀导致的误差
  • 修正方法为T=T1v2c2,其中c表示光速
  • 直接修正T计算量太大,可以考虑近似计算
  • u=v2c2,代入上式可得

T=T1u=T(1u)12T(1+12u)

  • 设计GPS的工程师利用T=T(1+12v2c2)
  • 判断时间差和卫星发出电磁波的频率改变
  • 然后进行信号偏移的补偿,使人们更好地接收信号

3 二阶线性 quadratic approximation

f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2(xx0)2

  • 相比于线性近似,二阶近似所得数值更精确
  • 相比于线性近似,二阶近似所得几何图像与原图像更相似
  • 相比于线性近似,二阶近似所需消耗的计算量更多

x0=0x0为前提,几种常见的函数二阶近似:

  • sin(x)x
  • cos(x)112x2
  • ex1+x+x22
  • lm(1+x)x12x2
  • (1+x)r1+rx+r(r1)2x2

4 参考

#线性近似 #二阶近似

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