分类目录归档：课程
反常积分的第二种情况就是积分区域内有奇点的情况
示例：讨论$\int_0^1\frac{dx}{x^p}$的收敛性
总结3 反常积分示例中示例3的结果可得到以下结果：
芝诺悖论：$1+\frac{1}{2}+\frac
$$\begin{equation}
IF = \left\{
\begin{array}{rl}
f(x)\to \infty \\ \\
g(x)\to \infty \\ \\
\frac{f'(x)}{g'(x)}\to L
\end{array} \right.
\end{equation}
\ \ \ AS \ \ x\to a \ \ THEN \ \frac{f(x)}{g(x)}\
洛必达法则（L'Hopital's Rules）：当$f(a)=g(a)=0$
$$lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x\to a}\frac{f(x)/(x-a)}{g(x)/(x-a)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}(g'(x)\neq0)$$
$$lim_{x\to 0}\frac{sin5x}{sin2x}=lim_{x\to 0}\frac{5cos5x}{2cos2x}=\frac{5}{2}$$
$$lim_{x\to 0}\frac{cosx-
半径为$a$的圆的面积为$A=\pi a^2$
其中角度为$\Delta \theta$的扇形面积为$\Delta A$，则$\Delta A=\frac{\Delta \theta}{2\pi}\pi a^2=\frac{1}{2}a^2\Delta \theta$
无限细分角度，可得$dA=\frac{1}{2}a^2d\theta$，则$A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{1}{2}a^2d\theta$
对于一些不规则的类圆图形，可引入参数方程，
$$x=acost,y=asint$$
如上图所示，设$\Delta S=S_i-S_{i-1}$
部分分式：对满足比例函数$\frac{P(x)}{Q(x)}$形式的被积函数，通过代数的方式将其分解为容易进行积分的分式形式
分部积分法（integration by parts）是微
将函数表达式拆分成一些可以积分的简单分式。
比如$\int \frac{4x-1}{x^2+x-2}dx=\int(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{x+2})dx=ln|x-1|+3ln|x+2|+C$
而“掩盖法（cover-up）”就是一种常见的函数转换方法
掩盖法适用于函数$Q(x)$有不同的线性因子的情况，且分子最高次小于分母
以上一节的例题中表达式为例
- $\frac{4x-1}{x^2+x-2}=\frac{4x-1}{(x+1)(x-2)}=\frac{A}{x+1}+
三角函数恒等式：
$$secx=\frac{1}{cosx}$$ $$cscx=\frac{1}{sinx}$$ $$cotx=\frac{cosx}{sinx}$$ $$sec^2x=\frac{1}{cos^x}=1+tan^2x$$
三角函数的微积分：
$$tan'x=sec^2x$$ $$sec'x=secx\ tanx$$ $$\int tanx=-ln(cos)+C$$ $$\int secx=ln(secx+tanx)+C$$
证明：$\int secx=ln(secx+tanx)
$$cos^2\theta = \frac{1+cos(2\theta)}{2}$$
$$sin^2\theta = \frac{1-cos(2\theta)}{2}$$
$$\int sin^mxcos^nxdx$$
以上形式的积分，对于任意的$m、n$存在通解
下面将分为两种情况讨论并证明