分类目录归档:课程

5.直线和曲线的参数方程

1 直线的参数方程

假设$t=0$和$t=1$分别对应直线上的点$Q_0=(-1,2,2)$和$Q_1=(1,3,-1)$

易得$\overrightarrow{Q_0 Q(t)}=t\overrightarrow{Q_0 Q_1}$并且$Q(t)=(x(t),y(t),z(t))$,所以$Q(t)=Q_0+t\overrightarrow{Q_0 Q_1}$。即:

$$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} x(t) = -1+2t

Read more

4.矩阵与平面方程

1 平面方程

方程$ax+by+cz=d$定义了一个平面,此方程的矩阵形式如下: $$\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right] =d$$ 上面的式子也可以整理如下: $$\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \\

Read more

3.矩阵与逆矩阵

1 矩阵

矩阵(Matrices)常用于描述变量间的线性关系

以坐标轴$P=(x_1,x_2,x_3)$变换到$(u_1,u_2,u_3)$为例,假设二者间的线性关系如下所示: $$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} u_1 = 2x_{1} + 3x_{2} + 3x_{3} \ \\ u_2 = 2x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} \ \\ u_3 = x_{1} + x_{2} + 2x_

Read more

2.行列式与叉积

1 点积与行列式

已知三角形面积的计算公式为$S=\frac{1}{2}absin\theta$

则由向量$\vec{A}$和$\vec{B}$组成的平行四边形面积为$S=|\vec{A}||\vec{B}|sin\theta$

设$\vec{A'}$为向量$\vec{A}$逆时针旋转$90°$的结果,$\vec{A'}$与$\vec{B}$的夹角为$\theta'=\frac{\pi}{2}-\theta$

则平行四边形面积为$S=|\vec{A'}||\vec{B}|cos\theta'=\vec{A

Read more

1.向量与点积

1 向量 Vector

向量$\vec{A}$主要由长度$|A|$和方向$dir(A)$组成,起点和终点不固定

2 点乘 Dot product

$$\vec{A}\cdot \vec{B}=\Sigma a_ib_i=|\vec{A}||\vec{B}|cos\theta$$ 点乘的结果是一个常数,同时包含了向量长度信息和夹角信息

点乘的证明(基于向量版余弦定理):

  • 定义向量$\vec{A}$和向量$\vec{B}$,量向量夹角为$\theta$
  • 定义向量$\vec{C}=\vec{A}-\vec

Read more

Bilibili-不配做寿光的农村人

山东寿光农村人,家里种大棚,虽然现在在外面上大学,从五岁开始就干农活下地,对农活还比较了解,各种下地干的活都拿得出手。 对农业最深刻的印象就是 累,收益效益低 简单描述一下现在蔬菜大棚农民的劳作 各种蔬菜,得益于现在北方的冬暖式大棚技术发展,无论冬夏,各种季节都能种 ,因而所谓的农闲 ,其实只有夏天最热的那会到现在 ,也是要去棚地里推粪 ,修整耕地。 拿黄瓜举个例 ,黄瓜这个东西可以说是最累人的作物之一 ,从种植开始 ,到第一茬收获,这段时间其实还是最简单的 ,你只需要每天定时通风 ,每隔两天浇一次水 ,每隔两三日打一次药 。 可不要以为简单 ,想这个谁不会 ,你要面对的可是数以万计的黄瓜

Read more

Bilibili-山西大同的资源诅咒

山西大同人。 父亲是一名大货车司机。 我小时候住在城郊一个叫时庄的村子,整个村很多都在养大车,就是拉煤。那时候养大车赚的特别多,05-06年每个月赚几万的比比皆是,那时候的时庄人看不起城里人,孩子们初中都念不完就开始跟车,学车,跑车,赚钱。 人们有了钱,也没有文化,吃喝嫖赌是常态。 整个村子就没几个正经大学生,我印象中就十来个吧,我因为有个好妈妈,侥幸成了其中之一。 不光是时庄,那时候整个大同矿区都是这种风气,矿工下井一个月赚一万,吃香的喝辣的,也不重视子女教育,大不了孩子大了花钱找人当两年bing,回来矿上分配工作。这就是那时候大同人的常态。 所以作为一个大同人,我对资源诅咒这四个字的理

Read more

MIT18.01单变量微积分-课程总结

1 基本信息

1.1 课程标题:《MIT18.01单变量微积分》

1.2 授课讲师:David Jerison 教授

1.3 授课日期:2007 FALL

1.4 品读时间:初稿成于2014,电子稿成于2021

1.5 整体耗时:约75h

1.6 摘要

Unit 1 知识点简单概

Read more

35.多变量微积分-期末复习

1 泰勒级数补充

(最后一节课换了个导师,所以教学进度衔接似乎不太好 = =)

幂级数的性质1:存在收敛半径$R$ 幂级数的性质2:当$|x|<R$时,$f(x)$可无限求导(比如说多项式级数)

泰勒展开式:

$$f(x)=\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

2 示例与应用

示例1:几何级数 geometric series $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3...(R=1)$

示例2:$ln(1+x)=\int_0^x\fr

Read more

34.泰勒级数

1 木板问题

将1号木板放置在桌面边缘,在木板不掉落的情况下不断探出;然后再叠加2号木板,追求总探出长度最大的情况,以此类推,判断最终总长度是否是有限的

  • 要保证积木不掉落,就需要保持整体的重心在桌面内
  • 贪婪情况下(追求总长度最长),重心会保持在桌面边缘处
  • 判断最终总长度是否有限,其实是判断$C_N$的极限是否收敛的问题
  • 用$C$表示重心的水平方向值,则$C_N$表示叠加$N$个积木后的整体重心
  • $C_{N+1}=\frac{NC_N+1\times(C_N+1)}{N+1}

Read more