个人笔记

1 FTC1的第二形式

$$\Delta F=Ave(F')\Delta x$$

推导过程

• 由FTC1可知$\Delta F=F(b)-F(a)=F\int_a^bf(x)dx$
• 而$\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(d)dx=Average(F)$，即$\Delta F=Ave(F')\Delta x$

与中值定理的对比

• 中值定理（MVT）描述的是$\Delta F=F'(c)\Delta x$
• 其中$c$并不确定，只是泛指定

Read more

1 微积分第一定理

Fundamental Theorem of Calculus（FCT1）: $$\text{If }F'(x)=f(x)\text{, then }\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b$$

定积分的理解

• 几何解释：积分应该等于函数曲线在X轴以上的面积减去在X轴之下的面积
• 物理解释：思考函数为描述速度$v(t)$，则其原函数$\int_a^b|v(t)|dt$会是描述路程的

2 定积分的性质

• $\int_a^b(f(x)+g(x))dx

Read more