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15.多变量微积分-第二次复习

1 Unit 2 知识点简单概括

截止到第十五节课,本课程的第二单元:偏微分(Unit 2 Partial derivatives)部分内容已完成,内容脉络简单梳理如下:

  • 偏导与绘图(等值面、切平面、马鞍图)
  • 极值与最优化问题(切平面逼近、最小二乘法)
  • 临界点与最值(鞍点、二阶导检验)
  • 微分理解与微分的应用(全微分,链式法则)
  • 梯度理解与梯度的应用(方向导数、拉格朗日乘数法)
  • 偏导的深入理解(非独立变量的依赖关系)

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14.非独立变量

1 非独立变量的依赖

当给定函数$g(x,y,z)=c$的形式时,一般可以转化为$z=z(x,y)$的形式,然后进行推导出变量$z$与变量$x,y$之间的偏导(依赖关系),即: $$\frac{\partial{z}}{\partial{x}},\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$$ 问题:当$z=z(x,y)$的形式无法求解时,如何求解变量$z$与变量$x,y$之间的偏导?

例题:$x^2+yz+z^3=8$,求$z(x,y)$在点$(2,3,1)$处的偏导值

对原函数求微分

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13.拉格朗日乘数法

1 最值问题

最值问题指寻找最佳的变量组合(变量间不独立),使得多元函数最大/最小

例题:求函数$xy=3$距原点最近的点

分析:

函数/问题:最小化函数$f(x,y)=x^2+y^2$ 关系/限制:$g(x,y)=xy=3$ 基本思路:当$f(x,y)$的等值线/面与$g(x,y)$相切,存在条件下的最优解

2 拉格朗日乘数法

沿用上一小节的思路,并继续进行演变。$f(x,y)$的等值线/面与$g(x,y)$相切意味着两函数的法向量是平行的$\nabla_f //\nabla_g$,即$\nabla_f = \lambda \nabla

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12.梯度,切平面,方向导数

1 梯度

回归上一节,对于函数$w(x,y,z)$,当$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$时,求导可得: $$\frac{dw}{dt}=w_x\frac{dx}{dt}+w_y\frac{dy}{dt}+w_z\frac{dz}{dt}=\nabla_w\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}$$

这里其实是一种将多元微分从乘加形式向点积形式的简化转换

其中$\nabla_w$表示梯度向量,为各方向偏导组成的向量: $$\nabla_w=<w_x,w_y,w_z>$$ 其中$\frac{d\vec{

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11.微分与链式法则

1 微分

微分近似地描述当函数自变量的微小改变时,函数值的变化情况

以最简单的函数$y=f(x)$为例,其对应的微分为:$dy=f'(x)dx$

以函数$f(x,y,z)$为例,其对应的全微分为: $$df=f_xdx+f_ydy+f_zdz$$

$df\neq \Delta f$,$\Delta f$是一个数值,而$df$更像是一种占位符,有时无法给出特定的值,通过对自变量进行赋值,$df$能计算得出切线/切平面的近似值

微分计算最常用的一种场景就是链式法则

2 链式法则

当$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$时,$f(x,y,z)$将变

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10.二阶导检验:边界与无穷

1 临界点与最值

临界点共有三种可能类型:

  1. 局部极大值
  2. 局部极小值
  3. 鞍点

临界点的类别主要通过函数的二阶导实现判断

以$z=x^2$为例,此时$z$与$y$无关,临界点因此退化为线$x=0$

最值,即全局极大值或全局极小值,主要对比以下三种情况下的点:

  1. 局部极值
  2. 边界
  3. 无穷远

2 二阶导检验

设$A=f_{xx},B=f_{xy}=f_{yx},C=f_{yy}$,二阶导检验方式如下:

  1. $AC-B^2>0且A>0$,此时临界点为极小值
  2. $AC-B^2>0且A<0$,此时临界点为极大值
  3. $AC-B^2<

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9.极值问题,最小二乘法

1 切平面逼近

偏导描述的是只考虑一个自变量变化时,因变量的变化情况。而当所有自变量都发生变化时($x\to x+\Delta x,y\to y+\Delta y$),因变量$z=f(x,y)$的变化符合以下公式: $$\Delta z \approx f_x\Delta x+f_y \Delta y$$

证明:

  • 对于点$(x_0,y_0)$,假设其对应的函数值为$z_0$
  • 先固定$y=y_0$,根据偏导的几何性质可得切线$L_1:z=z_0+f_x(x-x_0)$
  • 再固定$x=x_0$,根据偏导的几何性质可得切线$L_2

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8.等值面,偏导与切平面

1 多元函数的绘图

随着自变量的增多,单变量函数开始向多元函数演变。而由于收到维度的限制,函数的可视化一般局限于二元函数图像与三元函数的等值面图像。其中等值面通过固定多元函数的因变量为常数而得到,以函数$z=x^2+y^2$为例,其绘图过程如下:

  1. 绘制坐标轴,一般采用右手坐标系
  2. 特殊情况的全列举,比如选定$x=0$,绘制函数在$yz$平面上的图像;选定$y=0$,绘制函数在$xz$平面上的图像;选定$z=0$,绘制函数在$xy$平面上的图像
  3. 选定$z=a$,其中$a$为任意常数,绘制多个等值面图像

密集的等值面图像可以直接构建多元函

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7.多变量微积分-第一次复习

1 Unit 1 知识点简单概括

截止到第七节课,本课程的第一单元:向量和矩阵(Unit 1 Vectors and matrices)部分内容已完成,内容脉络简单梳理如下:

  • 向量的定义和点乘(向量信息、点积的应用)
  • 行列式和叉积(行列式几何意义、叉积与右手法则)
  • 矩阵运算与逆矩阵(线性变换、伴随矩阵、代数余子式)
  • 平面方程和参数方程(线性方程组、摆线轨迹)
  • 向量与方程的综合应用(加速度、开普勒第二定律、万有引力)

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6.加速度与开普勒第二定律

1 速度与加速度

由上一节5.直线和曲线的参数方程可知,向量$\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}$

且摆线轨迹$\vec{r}(\theta)=<a\theta-asin(\theta),a-acos(\theta)>$

定义速度: $$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=<\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}>$$

设半径$a=1$,则轨迹向量对应的速度$\vec{v}=

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