分类目录归档:基础数学

24.单连通区域,第三次复习

1 单连通区域

单连通区域R:由单一的一块组成的区域R,即没有“洞”的区域

要求:对于单连通区域R内存在的任意闭合曲线C,曲线C的区域也属于R

不满足以上要求的区域则被称为多连通区域,或复连通区域

在之前第21节课中曾提及判定梯度场的前提条件,即F处处有定义可导。在了解单连通区域的定义后,可以发现此前提条件等价于F的定义域是单连通区域:

如果F的旋度是0,且F的定义域是单连通区域,则F是保守场/梯度场

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23.通量,完整的格林公式

1 通量

通量衡量沿着曲线前进时通过曲线的向量场多少,也可以用于描述单位时间内流体场F通过曲线C的流量: cFn^ds

其中n^就是曲线C各点处的单位法向量(前进方向的右侧,右正左负是一种约定成俗)

2 通量的简单计算

部分情况下,可根据通量的定义进行直接计算

假设曲线C是圆心在原点,半径为r的逆时针旋转得到圆

情况1:F//n^,可假设F=<x,y>

$$∮_

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22.格林公式

1 格林公式

假设C为逆时针的封闭曲线,包围着区域R;如果向量场F在曲线C和区域R处处有定义且处处可微,则存在格林公式使得线积分转化为双重积分: cFdr=Rcurl(F)dA 坐标形式的格林公式: cMdx+Ndy=R(NxMy)dA

此处限制曲线C为逆时针是一种人为规定的方向,也就是一种约定成俗。就好像定义旋度=NxMy,而不

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21.梯度场和势函数

1 判断梯度场

上一节对于向量场判断是否为梯度场已有较为全面的表述

本小节将从梯度场的性质出发,展示最常见且便捷的判断方法

如果F是梯度场,则F=f,M=fx,N=fy

fxy=fyx可知,梯度场F需要满足:My=Nx

  • F是梯度场,是My=Nx的充分不必要条件
  • My=NxF处处有定义可导的前提下,可推得F是梯度场
  • 在后续的第24节课中将提及,这

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20.路径独立和保守场

1 梯度场与势函数

回归向量场的定义:F=Mi+Nj=<M(x,y),N(x,y)>

假设存在一个函数f(x,y),并且关系fx=M,fy=N成立,即: F=<M,N>=<fx,fy>=f

则此向量场描述的是一个函数f(x,y)的梯度,F也叫做梯度场,函数f叫做势函数

此处可关联物理学方便理解,F描述的是重力场,则f描述的是重力势能。做功的计算既可以

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19.平面向量场的线积分

1 平面向量场

向量场(vector fields)将空间中的点映射为向量,用于描述空间流体或力的强度和方向

常见的向量场举例:风场、引力场、电磁场、水流场

假设存在函数M(x,y)N(x,y),用F来描述向量场: F=Mi+Nj 示例1:F=2i+j,其向量场可视化结果如下:

示例2:F=xj,其向量场可视化结果如下:

示例3:F=yi+xj,其向量场可视化结果

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18.变量替换

1 变量替换的示例

在上一节中,从直角坐标系到极坐标的转换其实是一种换元法的特例: Rf(x,y)dA=Rg(r,θ)rdrdθ

在本小节,对这类方法进行拓展,并以例题的形式对变量替换法(换元法)进行说明

例题:计算(xa)2+(yb)2=1椭圆面积

分析:考虑借助u=xa,v=yb进行换元

  1. 此时可得微分关系:$du=\frac{1}{a}dx,dv\frac{1

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17.极坐标的二重积分及其应用

1 极坐标的二重积分

例题:计算二重积分1x2y2dA,限定区域在x2+y2<1,x0,y0

分析:考虑sinx+cos2=1的特性,极坐标化将极大简化运算过程

  1. 对变量进行极坐标化,带入x=rcosθ,y=rsinθ
  2. 对函数图像进行网格化处理,在笛卡尔坐标系中,函数区域将会细分为多个横平竖直的小矩阵;而在极坐标系中,函数区域将有无数从原点出发的射线与半径不一同心圆(具体结果如下图所示)
  3. 此时很明显$dr\cdot d\theta

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16.二重积分

1 二重积分

假设存在区域R与函数f(x,y),对区域r进行网格化分割,其中第i块小格的面积为ΔAi,并且该小格的中心坐标为(xi,yi),则函数f在区域R内的二重积分可表示如下: Rf(x,y)dA=Rf(x,y)dA 其中,dA可以看作dxdy的乘积(小格子都被近似看作为矩阵)

考虑单变量积分,其积分值表示函数曲线在特定区间下围绕产生的面积值。

同理,二重积分的几

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15.多变量微积分-第二次复习

1 Unit 2 知识点简单概括

截止到第十五节课,本课程的第二单元:偏微分(Unit 2 Partial derivatives)部分内容已完成,内容脉络简单梳理如下:

  • 偏导与绘图(等值面、切平面、马鞍图)
  • 极值与最优化问题(切平面逼近、最小二乘法)
  • 临界点与最值(鞍点、二阶导检验)
  • 微分理解与微分的应用(全微分,链式法则)
  • 梯度理解与梯度的应用(方向导数、拉格朗日乘数法)
  • 偏导的深入理解(非独立变量的依赖关系)

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