1 单连通区域
单连通区域
要求:对于单连通区域
不满足以上要求的区域则被称为多连通区域,或复连通区域
在之前第21节课中曾提及判定梯度场的前提条件,即
如果
的旋度是0,且 的定义域是单连通区域,则 是保守场/梯度场
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在上一节中,从直角坐标系到极坐标的转换其实是一种换元法的特例:
在本小节,对这类方法进行拓展,并以例题的形式对变量替换法(换元法)进行说明
例题:计算
分析:考虑借助
进行换元
- 此时可得微分关系:$du=\frac{1}{a}dx,dv\frac{1
例题:计算二重积分
分析:考虑
的特性,极坐标化将极大简化运算过程
- 对变量进行极坐标化,带入
- 对函数图像进行网格化处理,在笛卡尔坐标系中,函数区域将会细分为多个横平竖直的小矩阵;而在极坐标系中,函数区域将有无数从原点出发的射线与半径不一同心圆(具体结果如下图所示)
- 此时很明显$dr\cdot d\theta
截止到第十五节课,本课程的第二单元:偏微分(Unit 2 Partial derivatives)部分内容已完成,内容脉络简单梳理如下: