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例：固定绳子两端于点$(0,0)$和点$(a,b)$，并在绳子内任意位置悬挂重物，得到重物的坐标$(x,y)$，求$y$的最小值
求解过程
$$\frac{1}{2}\frac{2x+2yy'}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{1}{2}\frac{-2(a-x)-2(b-
复习：分析函数极值点关键是找到驻点、边界点和不连续点
例：1根绳，截2段，分别围成正方形，求总面积最大值 $$S=(\frac{x}{4})^2+(\frac{1-x}{4})^2$$
求解过程
- 令$S'=0$，可得$x=\frac{1}{2}$
- 此时$S(x=\frac{1}{2})=\frac{1}{32}$，是最小值
- 此函数的最大值为边界值，即$x=0^+or1^-$的时候最大
- 此时$S=\frac{1}{16}$，
$$\lim_{k \to \infty}a_k=\lim_{k \to \infty}(1+\frac{1}{k})^k=e$$
利用线性近似进行更简单的证明
- $ln(a_k)=k\times ln(1+\frac{1}{k})\approx k\times \frac{1}{k}=1$
二阶近似的性质
- $ln(a_k)=k\times ln(1+\frac{1}{k})\approx k\times (\frac{1}{k}-\frac{1}{2k^2})=1-\frac{1}{2k}$
- $
$$f(x) \approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$
以$x_0=0$且$x\approx 0$为前提，几种常见的函数线性近似：
- $sin(x) \approx x$
- $cos(x) \approx 1$
- $e^x \approx 1+x$
- $lm(1+x) \approx x$
- $(1+x)^r \a
$$\frac{d}{dr}x^r=rx^{r-1}$$ 其中$r \in$实数
快速证明 $$\frac{d}{dr}x^r=\frac{d}{dr}e^{ln(x^r)}=e^{ln(x^r)}\times r \times \frac{1}{x}=rx^{r-1}$$
股票指数，以FTSE100为例
- FTSE100全称为伦敦金融时报100指数，简称英国富时100指数
- 欧洲三大股票指数包括：30工业股、FT-100、综合
$$\frac{d}{dx}a^x=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=M(a)a^x$$
扩展$(x^n)'=nx^{n-1}$为$(x^a)'=ax^{n-1}$
扩展公式的证明：
- 转换$y=x^{\frac{m}{n}}$为$y^n=x^m$
- 由此可得$\frac{d}{dx}y^n=\frac{d}{dx}x^m=mx^{m-1}$
- 借助链式法则可得$\frac{d}{dy}y^n\frac{dy}{dx}=mx^{m-1}$
- 化简可得$\frac{dy}{dx}=\frac{mx^{m-
