分类目录归档:基础数学

10.最值问题

1 曲线构图补充

画图法步骤:

  1. 描点
  • 不连续点(特别是f(x)的点)
  • 无限远端(x
  • 易求的点
  1. 求驻点f(x)=0,判断不同区域一阶导数的正负性,检验单调性
  2. 求拐点f(x)=0,判断不同区域二阶导数的正负性,检验凹凸性
  3. 画图和总结

练习:f(x)=1+x2+x绘图

附件/Pasted image 20210914140851.png

2 最值问题

附件/Pasted image 20210914140951.png

分析函数极值点关键是找到驻点、边界点和不连续点

3 参考

MIT—单变量微积分笔记11 极值问题

#最值

Read more

8.线性近似和二阶近似

1 线性近似 linear approximation

f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)

  • 其中仅在x接近x0时成立

x0=0x0为前提,几种常见的函数线性近似:

  • sin(x)x
  • cos(x)1
  • ex1+x
  • lm(1+x)x
  • $(1+x)^r \a

Read more

7.单变量微积分-第一次复习

1 多项式导数的推广

ddrxr=rxr1 其中r实数

快速证明 ddrxr=ddreln(xr)=eln(xr)×r×1x=rxr1

2 自然对数的常见应用

股票指数,以FTSE100为例

  • FTSE100全称为伦敦金融时报100指数,简称英国富时100指数
  • 欧洲三大股票指数包括:30工业股、FT-100、综合

Read more

6.指数和对数的导数

1 指数(exponential)的导数Part1

ddxax=limΔx0ax+ΔxaxΔx=axlimΔx0aΔx1Δx=M(a)ax

  • 其中a表示某一固定常数,M(a)表示某一固定函数值
  • x=0时,$M

Read more

5.隐函数微积分和逆函数求导

1 隐函数微积分

扩展(xn)=nxn1(xa)=axn1

  • 其中a表示有理数,可以用mn表示
  • m,nZ,即mn属于整数集

扩展公式的证明:

  • 转换y=xmnyn=xm
  • 由此可得ddxyn=ddxxm=mxm1
  • 借助链式法则可得ddyyndydx=mxm1
  • 化简可得$\frac{dy}{dx}=\frac{mx^{m-

Read more

4.链式法则及高阶导数

1 导数的乘法法则

(uv)=uv+vu

乘法法则推导Part 1 $$\begin{align} \Delta(uv) & = u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x) \ \ & = [u(x+\Delta x)-u(x)]v(x+\Delta x)+u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)] \ \ & = \Delta u\times v(x+\Delta x)+u(x)\D

Read more

3.求导公式和三角函数

1 求导公式

  1. 特定函数求导,如xn的导数为nxn1
  2. 通用公式,如(u+v)=u+v
  3. 以上两种的混合使用

2 三角函数的导数

  • 在正式推导前,需要先推导出两个特殊情况下的极限变化率

第一种特殊情况: limx0sin(x)x=1 几何法证明:

附件/Pasted image 20210912173326.png

(图片引用说明:知乎@三少爷的贱男春)

  • 上图为一个标准单位圆,角度θ对应弧长为2πr=θ
  • 随着θ的减少,极短曲线可看作直线,即$\theta=sin(\theta

Read more

2.极限和连续

1 变化率 rate of change

  • 注意:本课前半部分内容为第一节内容未讲完部分。第一节仅描述了导数的几何解释,而变化率则是导数的物理解释。

limΔx0ΔyΔx=dydx

  • ΔyΔx表示的是一种平均值
  • dydx表示的是一种瞬时值

Read more

1.导数和变化率

1 何为导数 derivative

  • 几何解释 geometric interpretation
  • 物理解释 physical interpretation
  • 导数全方位的重要性 importance to all measurements

2 如何对已知的任意函数求导

  • 思考:如何对exarctan(x)求导

导数的几何解释

附件/Pasted image 20210912115729.png

  • 选择函数曲线上的点P,其坐标值为(x0,y0)
  • x0沿着x轴(x-axis)移

Read more