1 指数(exponential)的导数Part1
$$\frac{d}{dx}a^x=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=M(a)a^x$$
- 其中$a$表示某一固定常数,$M(a)$表示某一固定函数值
- 当$x=0$时,$M
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$$\frac{d}{dx}a^x=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=M(a)a^x$$
扩展$(x^n)'=nx^{n-1}$为$(x^a)'=ax^{n-1}$
扩展公式的证明:
- 转换$y=x^{\frac{m}{n}}$为$y^n=x^m$
- 由此可得$\frac{d}{dx}y^n=\frac{d}{dx}x^m=mx^{m-1}$
- 借助链式法则可得$\frac{d}{dy}y^n\frac{dy}{dx}=mx^{m-1}$
- 化简可得$\frac{dy}{dx}=\frac{mx^{m-
$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}$$
- $\frac{\Delta y}{\Delta x}$表示的是一种平均值
- $\frac{dy}{dx}$表示的是一种瞬时值
导数的几何解释
- 选择函数曲线上的点$P$,其坐标值为$(x_0,y_0)$
- $x_0$沿着x轴(x-axis)移