个人笔记

1 基本信息

1.1 课程标题：《MIT18.01单变量微积分》

1.2 授课讲师：David Jerison 教授

1.3 授课日期：2007 FALL

1.4 品读时间：初稿成于2014，电子稿成于2021

1.5 整体耗时：约75h

1.6 摘要

Unit 1 知识点简单概

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1 泰勒级数补充

（最后一节课换了个导师，所以教学进度衔接似乎不太好 = =）

幂级数的性质1：存在收敛半径$R$ 幂级数的性质2：当$|x|<R$时，$f(x)$可无限求导（比如说多项式级数）

泰勒展开式：

$$f(x)={\mathrm{\Sigma }}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

2 示例与应用

示例1：几何级数 geometric series $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3...(R=1)$

示例2：$ln(1+x)=\int_0^x\fr

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1 木板问题

将1号木板放置在桌面边缘，在木板不掉落的情况下不断探出；然后再叠加2号木板，追求总探出长度最大的情况，以此类推，判断最终总长度是否是有限的

• 要保证积木不掉落，就需要保持整体的重心在桌面内
• 贪婪情况下（追求总长度最长），重心会保持在桌面边缘处
• 判断最终总长度是否有限，其实是判断$C_N$的极限是否收敛的问题
• 用$C$表示重心的水平方向值，则$C_N$表示叠加$N$个积木后的整体重心
• $C_{N+1}=\frac{NC_N+1\times(C_N+1)}{N+1}

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1 反常积分2

反常积分的第二种情况就是积分区域内有奇点的情况

示例：讨论${\int }_0^1\frac{dx}{x^p}$的收敛性

• ${\int }_0^1\frac{dx}{x^p}=\frac{x^{-p+1}}{-p-1}{|}_0^1=\frac{1}{1-p}(p<1)$
• 当$p\ge 1$时，函数不收敛

总结3 反常积分示例中示例3的结果可得到以下结果：

2 无穷级数 infinite series

芝诺悖论：$1+\frac{1}{2}+\frac

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1 洛必达法则补充

$$$$IF=\{\begin{array}{r}f(x)\to \mathrm{\infty }\\ \\ g(x)\to \mathrm{\infty }\\ \\ \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\to L\end{array}$$ \ \ \ AS \ \ x\to a \ \ THEN \ \frac{f(x)}{g(x)}\

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1 洛必达法则

洛必达法则（L'Hopital's Rules）：当$f(a)=g(a)=0$

$$li{m}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=li{m}_{x\to a}\frac{f(x)/(x-a)}{g(x)/(x-a)}=\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}(g^{\prime }(x)\ne 0)$$

2 洛必达法则示例

$$li{m}_{x\to 0}\frac{sin5x}{sin2x}=li{m}_{x\to 0}\frac{5cos5x}{2cos2x}=\frac{5}{2}$$

$$lim_{x\to 0}\frac{cosx-

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1 极坐标与面积

半径为$a$的圆的面积为$A=\pi a^2$

其中角度为$\mathrm{\Delta }\theta$的扇形面积为$\mathrm{\Delta }A$，则$\mathrm{\Delta }A=\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{2\pi }\pi a^2=\frac{1}{2}{a}^2\mathrm{\Delta }\theta$

无限细分角度，可得$dA=\frac{1}{2}{a}^{2}d\theta$，则$A={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\frac{1}{2}{a}^{2}d\theta$

对于一些不规则的类圆图形，可引入参数方程，

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1 参数方程示例

$$x=acost,y=asint$$

• 一个明显性质是$x^2+y^2=a^2$，极限状态下$(ds{)}^2=(dx{)}^2+(dy{)}^2$
• 则$ds=\sqrt{(\frac{dx}{dt}{)}^2+(\frac{dy}{dt}{)}^2}dt=adt$
• 也就是$a=\frac{ds}{dt}$，$a$描述的是一种恒定速率
• 此参数方程描述的是一种逆时针匀速圆周运动，其中圆的半径为$a$
• 当$x=sint,y=cost$时，参数方程描述的是一种顺时针匀速圆周运动

2 极坐标 polar coordi

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1 弧长 arc length

如上图所示，设$\mathrm{\Delta }S=S_i-S_{i-1}$

• 将弧长近似为线段，由此可得$(\mathrm{\Delta }S{)}^2\approx (\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2$
• 无限细化$S_i$与$S_{i-1}$之间的距离，可得$(ds{)}^2=(dx{)}^2+(dy{)}^2$
• 化简得$ds=\sqrt{1-(\frac{dy}{dx}{)}^2}dx$
• 从$S_0$到$S_n$的总弧长$=\int_a

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1 回顾-部分分式通用过程

部分分式：对满足比例函数$\frac{P(x)}{Q(x)}$形式的被积函数，通过代数的方式将其分解为容易进行积分的分式形式

0. 长除法，确保余式分子最高项小于分母
1. 分母因式分解，将高次复杂的分母转为低次简单连乘的形式
2. 对分母建立等式，拆分复杂的分数为多简单分数相加的形式，并在分子中设未知数
3. 掩盖法求解，个别项通过对比等式两侧系数，建立线性方程组求解
4. 对各个部分进行积分，并得到被积函数的积分结果，注意小尾巴（常数C）

2 分部积分

分部积分法（integration by parts）是微

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