分类目录归档：MIT18.01单变量微积分
将函数表达式拆分成一些可以积分的简单分式。
比如$\int \frac{4x-1}{x^2+x-2}dx=\int(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{x+2})dx=ln|x-1|+3ln|x+2|+C$
而“掩盖法（cover-up）”就是一种常见的函数转换方法
掩盖法适用于函数$Q(x)$有不同的线性因子的情况，且分子最高次小于分母
以上一节的例题中表达式为例
- $\frac{4x-1}{x^2+x-2}=\frac{4x-1}{(x+1)(x-2)}=\frac{A}{x+1}+
三角函数恒等式：
$$secx=\frac{1}{cosx}$$ $$cscx=\frac{1}{sinx}$$ $$cotx=\frac{cosx}{sinx}$$ $$sec^2x=\frac{1}{cos^x}=1+tan^2x$$
三角函数的微积分：
$$tan'x=sec^2x$$ $$sec'x=secx\ tanx$$ $$\int tanx=-ln(cos)+C$$ $$\int secx=ln(secx+tanx)+C$$
证明：$\int secx=ln(secx+tanx)
$$cos^2\theta = \frac{1+cos(2\theta)}{2}$$
$$sin^2\theta = \frac{1-cos(2\theta)}{2}$$
$$\int sin^mxcos^nxdx$$
以上形式的积分，对于任意的$m、n$存在通解
下面将分为两种情况讨论并证明
题目：用数值积分法求解$\int_1^2 \frac{dx}{x}$
先用普通方法计算积分的精确结果（用于精度比较）：
$$\int_1^2 \frac{dx}{x}=lnx|_1^2=ln2\approx0.693147$$
然后使用辛普森公式进行近似值求解：
用于处理没有解析解的积分问题
常见的方法有三种
将区间等长分为n段，然后用矩形去逼近函数
$左和=(y_0+y_1+...+y_{n-1})\Delta x$
$右和=(y_1+y_2+...+y_{n})\Delta x$
用梯形去逼近函数，精度比黎曼和方法高
$$S=\Delta x(\frac{y_0+y_1}{2}+\frac{y_1+y_2}{2}+..
continuous average： $$lim_{n\to \infty}\frac{y_1+y_2+...+y_n}{n}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$$
例题1：单位半圆$y=\sqrt{1-x^2}$的平均高度 $$\frac{1}{1-(-1)}\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}$$
例题2：以弧长/角度$\theta$为自变量的单位半圆$y=sin(\theta)$的平均高度 $$\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}sin\t
求半圆函数$(x-a)^2+y^2=a^2$绕$x$轴旋转一周后所形成球的体积$V$
- 半圆函数可化简得$y^2=2ax-x^2$
- 球的每一个切面都是一个圆：$dV=\pi y^2dx$
- 由此可得$V=\int_0^{2a}\pi (2ax-x^2)dx=\frac{4}{3}\pi a^3$
- 球的部分体积满足函数$V(x)=\pi (ax^3-\frac{x^3}{3})$
求函数$y=x^2(y\leq a)$绕$y$轴旋转一周后所形成的物体体
definition of the logarithm： $$L(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt$$
对数函数的性质
- $L'(x)=\frac{1}{x}$与$L(1)=\int_1^1\frac{1}{t}dt=0$，这两个性质唯一的确定对数函数
- 由$L''(x)=-\frac{1}{x^2}$可知，函数处处下凹
- $L'(1)=1$，函数图像在点$(1,0)$位置与$y=x-1$相切
- 函数图像与$y=1$相交于点$(e,1)$，即$e$满足$L(e)=1$
$$\Delta F=Ave(F')\Delta x$$
推导过程
- 由FTC1可知$\Delta F=F(b)-F(a)=F\int_a^bf(x)dx$
- 而$\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(d)dx=Average(F)$，即$\Delta F=Ave(F')\Delta x$
与中值定理的对比
- 中值定理（MVT）描述的是$\Delta F=F'(c)\Delta x$
- 其中$c$并不确定，只是泛指定
Fundamental Theorem of Calculus（FCT1）: $$\text{If }F'(x)=f(x)\text{, then }\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b$$
定积分的理解
- 几何解释：积分应该等于函数曲线在X轴以上的面积减去在X轴之下的面积
- 物理解释：思考函数为描述速度$v(t)$，则其原函数$\int_a^b|v(t)|dt$会是描述路程的
