个人笔记

1 临界点与最值

临界点共有三种可能类型：

1. 局部极大值
2. 局部极小值
3. 鞍点

临界点的类别主要通过函数的二阶导实现判断

以$z=x^2$为例，此时$z$与$y$无关，临界点因此退化为线$x=0$

最值，即全局极大值或全局极小值，主要对比以下三种情况下的点：

1. 局部极值
2. 边界
3. 无穷远

2 二阶导检验

设$A=f_{xx},B=f_{xy}=f_{yx},C=f_{yy}$，二阶导检验方式如下：

1. $AC-B^2>0且A>0$，此时临界点为极小值
2. $AC-B^2>0且A<0$，此时临界点为极大值
3. $AC-B^2<0$，此时临界点为鞍点
4. $AC-B^2=0$，无法判断，存在退化，需要更高阶导进行判断

由于$B^2$是非负的，所以不会存在$A=0$且$AC-B^2>0$的情况

简单证明（借助泰勒级数对函数进行二阶近似）： $$\Delta f \approx f_x\Delta x+f_y\Delta y+\frac{1}{2}f_{xx}\Delta x^2+f_{xy}\Delta x\Delta y+\frac{1}{2}f_{yy}\Delta y^2$$ 由于在进行二阶导检验时，一阶偏导均等于$0$，所以上式可化简为： $$\Delta f \approx \frac{1}{2}A\Delta x^2+B\Delta x\Delta y+\frac{1}{2}C\Delta y^2$$ 令$a=\frac{1}{2}A,b=B,c=\frac{1}{2}C$，这样上式就转化为了一种常见的二元函数： $$ax^2+bxy+cy^2$$ 在$a\neq 0$的情况下，上式可以化简为两个平方和的形式： $$\frac{1}{4a}[4a^2(x+\frac{b}{2a}y)^2+(4ac-b^2)y^2]$$ 再换成$A,B,C$，可得结果： $$\frac{1}{2A}[A^2(x+\frac{B}{A}y)^2+(AC-B^2)y^2]$$ 所以上式的正负性主要取决于$A$的正负性和$AC-B^2$的正负性，得证

3 参考