分类目录归档:MIT18.02多变量微积分

MIT18.02多变量微积分-课程总结

1 基本信息

1.1 课程标题:《MIT18.02多变量微积分》

1.2 授课讲师:Denis Auroux 教授

1.3 授课日期:2007 FALL

1.4 品读时间:初稿成于2014,电子稿成于2022

1.5 整体耗时:约70h

1.6 摘要

第一单元:向量和矩阵(Unit

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33.麦克斯韦方程组

1 旋度与力场

关于旋度的前置知识可参考之前的21课时中对于旋度的理解

速度场的旋度描述的是速度中的旋转运动分量,也就是角速度

加速度场的旋度描述的是加速度中的旋转运动分量,也就是角加速度

力场的旋度描述的是力的旋转分量,是扭矩力矩与转动惯性的比例,即单位质量的扭转力矩,更具体的来说: $$curl(\frac{力}{质量})=2\frac{扭矩力矩}{转动惯性}$$ 对于保守场$\vec{F}$来说,力来自于势能,而势能会依据能力守恒定律,转化为动能,因此此时的$\vec{F}$不会产生用于旋转的分量,即$curl(\vec{F})=0$

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32.曲面独立性,第四次复习

1 单连通区域

定义单连通区域:区域内的任意一个闭合回路,在该区域内都有一个以它为界的曲面

举例理解:

  • 三维空间去除一个原点后,此区域为单连通区域
  • 三维空间去除$z$轴后,此区域为非连通区域

拓扑学拓展(通过”独立“环路数对曲面进行初步分类):

  • “甜甜圈”形状(doughnut)曲面:横切得到的环路由于内部存在洞所以找不到曲面,竖切得到的环路无法是任何曲面的边界,这两种”独立“环路都不能用于界定曲面边界
  • 莫比乌斯环和克莱因瓶:属于不可定向(no-orientable)曲面,比如莫比乌斯环是单侧曲面,所以无法

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31.斯托克斯定理

1 斯托克斯定理

关于格林公式的前置知识可参考之前的第22课时内容第23课时内容

格林公式可以看作斯托克斯(Stokes)定理在$xy$平面下的特例

当$C$为闭合曲线,包围着曲面$S$,则斯托克斯(Stokes)定理可表示如下: $$∮_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int \! \! \!\int_Scurl(\vec{F})\cdot d\vec{S}=\int \! \! \!\int_S(\nabla \times \vec{F})\cdot \hat{n}dS$$ 其中向量$\hat{n}$表示曲面

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30.空间线积分,保守场,旋度

1 课程回顾

上一节讲解的扩散方程主要由以下两部分组成:

  • 物理上,浓度$u$的流动是由高到低的,用$\vec{F}$描述这种流动(flow):$\vec{F}=-k\nabla u$
  • $\vec{F}$的散度可以描述浓度变化速度。$div\vec{F}=-\frac{\partial u}{\partial t}$

2 空间线积分

关于平面线积分的前置知识可参考之前的第19课时的内容

假设在空间向量场$\vec{F}=P\hat{i}+Q\hat{j}+R\hat{k}$的作用下,物体运动轨迹为$c$,则物体的

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29.散度定理证明和应用

1 散度定理的理解

在上一课时中,对于$\vec{F}=<P,Q,R>$的三维向量场,提出了散度定理: $$∯_S<P,Q,R>\cdot \hat{n}dS=\int \! \! \!\int \! \! \!\int_D (P_x+Q_y+R_z)dV$$

定义三维空间下的$Del$算子:$\nabla=<\partial{}/\partial{x},\partial{}/\partial{y},\partial{}/\partial{z}>$

对于普通三元函数$f$,$\n

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28.散度定理

1 通量的计算公式及证明

前情回顾:

  • 上一节提出了通量的计算(面积分):$Flux=\int !!! \int _S\vec{F}\hat{n}dS$
  • 示例1针对曲面法向量与向量场平行的特殊情况进行了计算过程展示
  • 示例2通过球坐标化的方法,先进行参数的变换,再进行后续的计算

以上的两种示例都属于现实中的特殊情况,本节课程则提出了更为通用的计算方法: $$Flux=\int \! \! \! \int _S\vec{F}\hat{n}dS=\pm \int \! \! \! \int _S\vec{F}\

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27.三维向量场,面积分和通量

1 三维向量场

与平面向量场类似,只不过维度为三: $$\vec{F}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=<x,y,z>$$

2 通量与面积分

三维向量场下的通量 - 描述单位时间内流体场$\vec{F}$通过表面$S$的流量: $$Flux=\int \! \! \! \int _S\vec{F}d\vec{S}=\int \! \! \! \int _S\vec{F}\hat{n}dS$$

  • 其中$\hat{n}$为面$S$的法向量
  • $dS$表示面积积元,和实际的切分方式有关
  • 常通过

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26.球面坐标,表面积

1 球坐标系下的三重积分

球坐标系是三维坐标系的一种,以坐标原点为参考点,点$P$的坐标由方位角$\theta$(线$OP$投影到$xy$平面后与$x$轴的夹角)、仰角$\phi$(线$OP$与$z$轴的夹角)和距离$\rho$(点到原点的距离)构成。经纬度就是球坐标系的一种常见形式,其中$\theta$与经度相似,$\phi$与维度相似。

球坐标化通过以下公式实现从$(x,y,z)$到$(\rho,\phi,\theta)$的转化: $$\begin{equation} \left

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25.直角坐标与柱坐标下的三重积分

1 直角坐标系下的三重积分

二重积分的几何意义是面积,三重积分的几何意义是体积,二者的计算也是可以类推的

举例:计算两个曲面$z = x^2+y^2$和$z = 4–x^2–y^2$围成的图形的体积

根据$x^2 + y^2\leq 4 – x^2 – y^2$推得$x,y$的限制条件:$x^2+y^2\leq 2$

将限制条件转化为积分上下限,可得以下计算公式: $$\int \! \! \! \int \! \! \! \int_R fdV=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{

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