个人笔记

样条（spline）通常是指分段定义的多项式参数曲线

样条函数是一种由分段多项式拼接而成的平滑函数，可用于逼近或插值数据

常见的样条函数：

Read more

author: 王半仙 creation date: 2023-08-12 14:36 modification date: <%+ tp.file.last_modified_date("YYYY MMMM Do dddd HH:mm:ss ") %> tags: [<%+ tp.file.tags %>] pulish: true article_id: 2598

### 1 基本概念

P问题：能在多项式时间内解决的问题，比如快速排序/冒泡排序

NP问题：能在多项式时间内验证得出一个正确解的问题（不确保在多项式时间内找到答案）

N

Read more

1 傅里叶变换

1.1 基本定义

传统傅里叶变换的定义为（积分形式）：$F(\omega)=\mathcal{F}{f(t)}=\int f(t)e^{-i\omega t}dt$

传统逆傅里叶变换的定义为（积分形式）：$f(t)=\mathcal{F}^{-1}{F(\omega)}=\frac{1}{2\pi}\int F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$

卷积定理：函数卷积的傅里叶变换是函数傅立叶变换的乘积 $$f\ast g=\mathcal{F}^{

Read more

随机矩阵：元素为随机变量的矩阵，属于概率论与矩阵分析的交叉领域

系综：对符合某种分布的随机变量进行多次取值，得到的矩阵集合

具有统计独立性的实或复矩阵系综，在基变换下分布具有不变性，如果变换是正交的(orthogonal)、酉的(unitary)或辛的(symplectic)，则分别得到高斯正交系综(Gaussian Orthogonal Ensemble，GOE)，高斯酉系综(Gaussian Unitary Ensemble，GUE)或高斯辛系综(Gaussian Symplectic Ensemble，GSE)

此处可先简单理解为，酉变换是实数域的正交变换在复数域上的拓展。对应关系

Read more

图论起源：柯尼斯堡七桥问题

1 基础概念

图 (graph) 常用$G=(V,E)$表示，其中$V$表示顶点/节点的集合，$E$表示边的集合

相邻的 (adjacent)/关联的 (incident)

• 边两端的顶点和边的关系是关联的或相邻的
• 通过边相连接的两个顶点之间的关系是相邻的

顶点的度 (degree)：与该顶点关联的边的条数。

• 对于有向图

Read more

1 有偏方差VS无偏方差

有偏样本方差：$Var=\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^n(X_i-X_{mean})^2$

无偏样本方差：$Var=\frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^n(X_i-X_{mean})^2$

当数据量较少时，无偏样本方差更合理；当数据量较大时，二者不存在明显差异

Python相关方差计算

• numpy包中默认计算方差是有偏的，无偏计算需要设定参数ddof=1
• pandas包中默认计算方差是无偏的，有偏计算需要设定参数ddof=0

2 条件概率密度函数

定义随机变量$X$的概率

Read more

1 信息

信息是不确定性的减少或消除——香农

对于随机变量$X$来说，其取值可能为${x_0,x_1,...,x_n}$

假设变量$X$对应的概率分布为$p$，则$X=x_0$的信息量为 $$I(x_0)=-log(p(x_0))$$

2 熵

熵(entropy)度量了事物的不确定性

不确定越高的事物，它的熵就越大。

随机变量X的熵可以表示如下：

$$H(X)=-\Sigma_{i=1}^np_ilog(p_i)$$

• 其中$n$表示$X$的所有

Read more

1 Kronecker 乘积

两个矩阵的 Kronecker 乘积 kron(X,Y) 为 X 的元素与 Y 的元素的所有可能乘积构成的较大矩阵。如果 X 为 m×n 且 Y 为 p×q，则 kron(X,Y) 为 mp×nq。元素以特定方式排列，呈现 X 的每个元素分别与整个矩阵 Y 相乘的结果。

X = [1   2； 3   4];
I = eye(2,2);
kron(X,I)
% result
ans =

     1     0     2     0
     0     1     0     2
     3     0 

Read more