1 课程回顾
上一节讲解的扩散方程主要由以下两部分组成：
- 物理上，浓度$u$的流动是由高到低的，用$\vec{F}$描述这种流动（flow）：$\vec{F}=-k\nabla u$
- $\vec{F}$的散度可以描述浓度变化速度。$div\vec{F}=-\frac{\partial u}{\partial t}$
2 空间线积分
关于平面线积分的前置知识可参考之前的第19课时的内容
假设在空间向量场$\vec{F}=P\hat{i}+Q\hat{j}+R\hat{k}$的作用下，物体运动轨迹为$c$，则物体的做功为： $$Work=\int_c\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_c<P,Q,R>\cdot <dx,dy,dz>=\int_cPdx+Qdy+Rdz$$
空间线积分示例：假设$\vec{F}=<yz,xz,zy>$，曲线$c$满足以下公式，请计算线积分 $$c:=\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} x=t^3 \ \\ y=t^2 \ \\ z=t \ \\ 0\leq t\leq 1 \end{gathered} \right. \end{equation}$$ 解（使用变量$t$进行参数的统一）： $$\begin{align} \int_c\vec{F}\cdot d\vec{r} & = \int_cyzdx+xzdy+xydz$ \ \\ & = \int_ct^33t^2dt+t^42tdt+t^5tdt$ \ \\ & = 1 \end{align}$$
注意：本示例中易得以$\vec{F}$为梯度场的原始函数（势函数）$f=xyz$，因此$\vec{F}$为保守场
3 线积分的基本定理
关于线积分基本定理、路径独立、梯度场、保守场、势函数等相关的前置知识，可参考之前的第20课时内容和第21课时内容
假设曲线表示为$c$，曲线起点为$P_0$，曲线终点为$P_1$，则线积分基本定理如下： $$\int_c \nabla f\cdot d\vec{r} =f(P_1)-f(P_0)$$ 线积分基本定理成立的前提假设：向量场$\vec{F}$是保守场/向量场$\vec{F}$存在势函数
问题1：如何判断向量场是否为保守场
答：先假设$<P,Q,R>=<f_x,f_y,f_z>$，再验证以下三个等式是否都成立： $$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} P_y=f_{xy}=f_{yx}=Q_x \ \\ P_z=f_{xz}=f_{zx}=R_x \ \\ Q_z=f_{yz}=f_{zy}=R_y \end{gathered} \right. \end{equation}$$ 问题2：如何寻找势函数$f(x,y,z)$
答（具体细节可参阅第21课时寻找势函数相关的内容）： （1）根据路径独立的性质，对路径进行拆分并分别计算线积分 （2）分别对包含$x,y,z$的部分进行不定积分，之后对结果进行组合
注意，以上所有分析还需要确保一个前提：$\vec{F}$的定义域是单连通区域
4 旋度
假设空间向量场为$\vec{F}=P\hat{i}+Q\hat{j}+R\hat{k}$，则向量场的旋度为： $$crul\vec{F}=(R_y-Q_z)\hat{i}+(P_z-R_x)\hat{j}+(Q_x-P_y)\hat{k}$$
旋度的理解：
- 度量向量场的保守程度/保守性
- 度量位移过程中的旋转部分
- 旋度的方向为旋转轴的方向，模长为角速度的两倍
- 旋度的计算可以理解为$Del$算子与向量场的叉乘：
$$\nabla\times \vec{F}= \left| \begin{matrix} i & j & k \\ \partial/ \partial x & \partial/ \partial y & \partial/ \partial z & \\ P & Q & R \\ \end{matrix} \right|=curl\vec{F}$$
散度是$Del$算子与向量场的点乘，旋度是叉乘
5 参考
