个人笔记

1 判断梯度场

上一节对于向量场判断是否为梯度场已有较为全面的表述

本小节将从梯度场的性质出发，展示最常见且便捷的判断方法

如果$\overrightarrow{F}$是梯度场，则$\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }f,M=f_x,N=f_y$

由$f_{xy}=f_{yx}$可知，梯度场$\overrightarrow{F}$需要满足：$M_y=N_x$

• $\overrightarrow{F}$是梯度场，是$M_y=N_x$的充分不必要条件
• $M_y=N_x$在$\overrightarrow{F}$处处有定义可导的前提下，可推得$\overrightarrow{F}$是梯度场
• 在后续的第24节课中将提及，这一前提是在限定$\overrightarrow{F}$定义域为单连通区域

以上一课时的第三小节例题说明：$\overrightarrow{F}=<-y,x>$

$M=-y,N=x$，由于$M_y\ne N_x$，势函数不存在，所以$\overrightarrow{F}$不是梯度场

2 寻找势函数

寻找势函数的前提是$M_y=N_x$

方法一：计算线积分

易知${\int }_c\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=f(x,y)-f(0,0)$，所以$f(x,y)={\int }_c\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}+f(0,0)$

考虑到梯度场路径独立的性质，路径$c$可拆分成路径$c_1$和路径$c_2$：

所以$f(x,y)={\int }_{c_1}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}+{\int }_{c_2}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}+f(0,0)$

• 计算路径$c_1$时，$y=0,dy=0,0\le x\le x_1$
• 计算路径$c_2$时，$x=x_1,dx=0,0\le y\le y_1$
• 借助路径独立的性质，计算过程得到了极大简化

方法二：求不定积分

势函数满足以下形式：$\int (f_x)dx=F^{\ast }(x)+g(y),\int (f_y)dx=F^{\ast }(y)+g(x)$

所以可以先根据$f_x=M(x,y)$还原势函数中包含$x$的部分$F^{\ast }(x)$，保留仅包含$y$的未知部分为$g(y)$，再考虑根据$f_y=N(x,y)$还原势函数中仅包含$y$的未知部分$g(y)$

此方法较难描述，可参考下一节的示例进行直观理解

3 寻找势函数的示例

例题：求解梯度场$\overrightarrow{F}=<4x^2+8xy,3y^2+4x^2>$的势函数

方法一（计算线积分）： $$\begin{array}{rl}f(x,y)& ={\int }_{c_1}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}+{\int }_{c_2}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}+f(0,0)\\ & ={\int }_0^{x_1}(4x^2+8x\cdot 0)\cdot dx+{\int }_0^{y_1}(3y^2+4x_1^2)dy+f(0,0)\\ & =\frac{4}{3}{x}_1^3+y_1^3+4x_1^2{y}_1+C\end{array}$$ 方法二（求不定积分）：

$$\begin{array}{rl}\int (f_x)dx& =F^{\ast }(x)+g(y)\\ & =\frac{4}{3}{x}^3+4x^{2}y+g(y)\end{array}$$ $$\therefore f_y=3y^2+4x^2=4x^2+g^{\prime }(y),g(y)=y^3+C$$ $$\therefore f(x,y)=\frac{4}{3}{x}^3+y^3+4x^{2}y+C$$

相比较来说，方法二更为简单常用 对于非线性复杂梯度场，求解势函数是困难的

4 旋度以及理解

在物理学中，常用向量场的旋度判断向量场是否为保守场

定义旋度的符号为$curl$，则旋度的计算方法定义如下： $$curl(\overrightarrow{F})=N_x-M_y$$ 容易发现，当$N_x=M_y$时，向量场$\overrightarrow{F}$的旋度为0，说明$\overrightarrow{F}$是保守场

• $M_y=N_x$在单连通区域成立的前提下，可推得$\overrightarrow{F}$是梯度场
• 梯度场是保守场，所以保守场都是无旋的（旋度为0）

在速度场中，旋度可以衡量运动在各个点上的扭转程度大小，旋度的值等于运动在旋转分量上的角速度的两倍，而旋度的正/负则分别对应顺/逆时针旋转

在力场中，旋度可以衡量物体上任一点受到的扭矩（力用于转动的分量），类似于加速度=力/质量的关系，角加速度=扭矩/转动惯量

5 参考：

博客园-梯度场和势函数