1 单连通区域
单连通区域$R$：由单一的一块组成的区域$R$，即没有“洞”的区域
要求：对于单连通区域$R$内存在的任意闭合曲线$C$，曲线$C$的区域也属于$R$
不满足以上要求的区域则被称为多连通区域，或复连通区域
在之前第21节课中曾提及判定梯度场的前提条件，即$\vec{F}$处处有定义可导。在了解单连通区域的定义后，可以发现此前提条件等价于$\vec{F}$的定义域是单连通区域：
如果$\vec{F}$的旋度是0，且$\vec{F}$的定义域是单连通区域，则$\vec{F}$是保守场/梯度场
2 格林公式的拓展
原始的格林公式同样要求向量场$\vec{F}$在定义域内是处处由定义可导的，所以对于非连通区域，可以通过切分或贯通的方式将区域转换为单连通区域，再分别应用格林公式
例如，针对闭合曲线$C$和$C'$围成的区域$R$，可以考虑构建可互相抵消的路径$L_1$和$L_2$使得非连通区域$R$转化为由${C,L_2,C',L_1}$围成的单连通区域，进而实现格林公式的拓展： $$\int \! \! \!\int_Rcurl(\vec{F})dA=∮_C\vec{F}\cdot d\vec{r}-∮_{C'}\vec{F}\cdot d\vec{r}$$
3 Unit 3 知识点简单概括
截止到第二十四节课，本课程的第三单元：平面上的二重积分和线积分（Unit 3 Double integrals and line integrals in the plane）部分内容已完成，内容脉络简单梳理如下：
- 二重积分的定义和计算（积分的集合含义、交换积分顺序）
- 二重积分与变量替换（极坐标、换元法、重心、转动惯量）
- 线积分与做功（向量场、梯度场、势函数、路径独立）
- 格林公式与通量（旋度、散度、通量、单连通区域）
补充说明1：二重积分的一般计算过程
补充说明2：线积分的常用计算方法
4 参考
