1 格林公式
假设$C$为逆时针的封闭曲线，包围着区域$R$；如果向量场$\vec{F}$在曲线$C$和区域$R$处处有定义且处处可微，则存在格林公式使得线积分转化为双重积分： $$∮_c\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int \! \! \!\int_Rcurl(\vec{F})dA$$ 坐标形式的格林公式： $$∮_cMdx+Ndy=\int \! \! \!\int_R(N_x-M_y)dA$$
此处限制曲线$C$为逆时针是一种人为规定的方向，也就是一种约定成俗。就好像定义旋度$=N_x-M_y$，而不是$M_y-N_x$一样。
2 格林公式示例
假设曲线$C$为圆型的逆时针曲线，圆心坐标为$(2,0)$，半径为$1$，请计算线积分 $$∮_c\vec{F}\cdot d\vec{r}=∮_c(ye^{-x}dx+(\frac{1}{2}x^2-e^{-x}dy)$$
分析：由于$N_x \neq M_y$，所以判断不是保守场。
- 考虑直接进行变量替换：$x=2+cos(\theta),y=sin\theta$
- 带入后结果较为复杂，暂时PASS掉
- 满足格林公式的前提假设，考虑带入公式可得 $$∮_c\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int \! \! \!\int_R(N_x-M_y)dA=\int \! \! \!\int_R[(x+e^{-x})-e^{-x})]dA$$
- 正常情况下，此时可以计算上下限后，依次求解双重积分
- 不过此题存在简便运算技巧： $$\int \! \! \!\int_RxdA=Area(R)\cdot \overline{x}=2\pi$$
3 格林公式证明
思路：从特例推广到一般
先考虑$N=0$且区域简单的特殊情况
假设区域$R$是竖直简单的，并且边界为逆时针曲线$C$。区域$R$的公式化描述如下： $$a<x<b,f_1(x)<y<f_2(x)$$
此时线积分公式可拆分为四个部分（$c_1,c_2,c_3,c_4$）： $$\begin{align} ∮_c\vec{F}\cdot d\vec{r}
& =\int_{c_1}Mdx+\int_{c_2}Mdx+\int_{c_3}Mdx+\int_{c_4}Mdx \ \\ & = 0 -\int_a^bM(x,f_2(x))dx + 0 + \int_a^bM(x,f_1(x))dx \end{align}$$ 另一方面，可对$\int \! \! \!\int_R-M_ydA$进行变换： $$\int \! \! \!\int_R-M_ydA=-\int_a^b \! \! \!\int_{f_1(x)}^{f_2(x)}\frac{\partial{M}}{\partial{y}}dydx=\int_a^b[M(x,f_1(x)) -M(x,f_2(x))]dx =∮_c\vec{F}\cdot d\vec{r}$$ 所以在此条件下，格林公式成立： $$∮_c-Mdy=\int \! \! \!\int_RM_ydA$$
同理可证$M=0$且区域简单的特殊情况，格林公式成立： $$∮_cNdy=\int \! \! \!\int_RN_xdA$$
验证可加性，得到完整的格林公式
如下图所示，考虑将曲线$C$切分成$C_1$和$C_2$：
由于$C_1$和$C_2$在分界线处方向相反，所以分界线处的线积分结果可互相抵消，即：$$∮_cMdx=∮_{c_1}Mdx+∮_{c_2}Mdx$$ 所以对应复杂区域，总是可以通过切分的方式转化为多个简单的区域，再结合前两步所得结论，格林公式得证
拓展科普：测面器
一种通过绘制闭合曲线即可测量出曲线内面积的仪器，在计算机兴盛前常用于生物化学实验中进行辅助计算，后来由于成本高昂（几千美元一台）被逐渐取代。测面器的核心原理就是借助了格林公式：$∮_cxdy=\int \! \! \!\int_R1dA=Area(R)$
4 参考：
