个人笔记

1 梯度场与势函数

回归向量场的定义：$\overrightarrow{F}=M\overrightarrow{i}+N\overrightarrow{j}=<M(x,y),N(x,y)>$

假设存在一个函数$f(x,y)$，并且关系$f_x=M,f_y=N$成立，即： $$\overrightarrow{F}=<M,N>=<f_x,f_y>=\mathrm{\nabla }f$$

则此向量场描述的是一个函数$f(x,y)$的梯度，$\overrightarrow{F}$也叫做梯度场，函数$f$叫做势函数

此处可关联物理学方便理解，$\overrightarrow{F}$描述的是重力场，则$f$描述的是重力势能。做功的计算既可以是力与位移的乘积，也可以说是对重力势能的变动描述：功=势能差

2 线积分基本定理

线积分是沿一条曲线对一个函数的梯度（向量场）做积分

假设曲线表示为$c$，曲线起点为$P_0$，曲线终点为$P_1$，则线积分基本定理如下： $${\int }_c\mathrm{\nabla }f\cdot d\overrightarrow{r}=f(P_1)-f(P_0)$$ 简略的证明过程： $${\int }_c\mathrm{\nabla }f\cdot d\overrightarrow{r}={\int }_c{f}_{x}dx+f_{y}dy={\int }_{c}df=f(P_1)-f(P_0)$$ 简单举例：$\overrightarrow{F}=<y,x>$的势函数是$f(x,y)=xy$

注意，向量场有可能是梯度场，比如重力场和电场；也有可能不是，比如磁场

3 梯度场的性质

性质1：梯度场的线积分是路径独立的（做功只取决于始末点）

性质2：梯度场是保守场（对于闭合曲线$c$，${\int }_c\overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}=0$）

例题：判断向量场$\overrightarrow{F}=<-y,x>$是否为梯度场

分析，可通过计算向量场在闭合曲线（单位圆轨迹$c$）上的线积分结果进行判定（线积分结果为0表明向量场满足保守场的性质）

1. 设$\hat{T}$表示沿轨迹切线方向（轨迹移动方向）的单位向量
2. 根据轨迹和向量场可知，$\overrightarrow{F}$和$\hat{T}$是处处平行的
3. 由于轨迹在单位圆上，所以$|\overrightarrow{F}|=1$
4. 汇总以上信息，可知$\overrightarrow{F}\cdot \hat{T}=1$，所以线积分结果如下： $${\int }_c\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}={\int }_c\overrightarrow{F}\cdot \hat{T}ds={\int }_{c}1ds=2\pi \ne 0$$
5. 所以向量场$\overrightarrow{F}=<-y,x>$不是梯度场

注：下一节将会有更便捷的证明方法

以下四种结论是等价的（可以互相转换的）：

1. 向量场$\overrightarrow{F}$是梯度场
2. 向量场$\overrightarrow{F}$是保守场
3. 向量场$\overrightarrow{F}$的线积分是路径独立的
4. 向量场$\overrightarrow{F}$满足以下恰当微分形式：$f(x,y)=Mdx+Ndy$

4 参考