分类目录归档:MIT18.02多变量微积分

24.单连通区域,第三次复习

1 单连通区域

单连通区域$R$:由单一的一块组成的区域$R$,即没有“洞”的区域

要求:对于单连通区域$R$内存在的任意闭合曲线$C$,曲线$C$的区域也属于$R$

不满足以上要求的区域则被称为多连通区域,或复连通区域

在之前第21节课中曾提及判定梯度场的前提条件,即$\vec{F}$处处有定义可导。在了解单连通区域的定义后,可以发现此前提条件等价于$\vec{F}$的定义域是单连通区域:

如果$\vec{F}$的旋度是0,且$\vec{F}$的定义域是单连通区域,则$\vec{F}$是保守场/梯度场

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23.通量,完整的格林公式

1 通量

通量衡量沿着曲线前进时通过曲线的向量场多少,也可以用于描述单位时间内流体场$\vec{F}$通过曲线$C$的流量: $$∮_c\vec{F}\cdot \hat{n}ds$$

其中$\hat{n}$就是曲线$C$各点处的单位法向量(前进方向的右侧,右正左负是一种约定成俗)

2 通量的简单计算

部分情况下,可根据通量的定义进行直接计算

假设曲线$C$是圆心在原点,半径为$r$的逆时针旋转得到圆

情况1:$\vec{F}//\hat{n}$,可假设$\vec{F}=<x,y>$

$$∮_

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22.格林公式

1 格林公式

假设$C$为逆时针的封闭曲线,包围着区域$R$;如果向量场$\vec{F}$在曲线$C$和区域$R$处处有定义且处处可微,则存在格林公式使得线积分转化为双重积分: $$∮_c\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int \! \! \!\int_Rcurl(\vec{F})dA$$ 坐标形式的格林公式: $$∮_cMdx+Ndy=\int \! \! \!\int_R(N_x-M_y)dA$$

此处限制曲线$C$为逆时针是一种人为规定的方向,也就是一种约定成俗。就好像定义旋度$=N_x-M_y$,而不

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21.梯度场和势函数

1 判断梯度场

上一节对于向量场判断是否为梯度场已有较为全面的表述

本小节将从梯度场的性质出发,展示最常见且便捷的判断方法

如果$\vec{F}$是梯度场,则$\vec{F}=\nabla f,M=f_x,N=f_y$

由$f_{xy}=f_{yx}$可知,梯度场$\vec{F}$需要满足:$M_y=N_x$

  • $\vec{F}$是梯度场,是$M_y=N_x$的充分不必要条件
  • $M_y=N_x$在$\vec{F}$处处有定义可导的前提下,可推得$\vec{F}$是梯度场
  • 在后续的第24节课中将提及,这

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20.路径独立和保守场

1 梯度场与势函数

回归向量场的定义:$\vec{F}=M\vec{i}+N\vec{j}=<M(x,y),N(x,y)>$

假设存在一个函数$f(x,y)$,并且关系$f_x=M,f_y=N$成立,即: $$\vec{F}=<M,N>=<f_x,f_y>=\nabla f$$

则此向量场描述的是一个函数$f(x,y)$的梯度,$\vec{F}$也叫做梯度场,函数$f$叫做势函数

此处可关联物理学方便理解,$\vec{F}$描述的是重力场,则$f$描述的是重力势能。做功的计算既可以

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19.平面向量场的线积分

1 平面向量场

向量场(vector fields)将空间中的点映射为向量,用于描述空间流体或力的强度和方向

常见的向量场举例:风场、引力场、电磁场、水流场

假设存在函数$M(x,y)$和$N(x,y)$,用$\vec{F}$来描述向量场: $$\vec{F}=M\vec{i}+N\vec{j}$$ 示例1:$\vec{F}=2\vec{i}+\vec{j}$,其向量场可视化结果如下:

示例2:$\vec{F}=x\vec{j}$,其向量场可视化结果如下:

示例3:$\vec{F}=-y\vec{i}+x\vec{j}$,其向量场可视化结果

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18.变量替换

1 变量替换的示例

在上一节中,从直角坐标系到极坐标的转换其实是一种换元法的特例: $$\int\int_Rf(x,y)dA=\int\int_Rg(r,\theta)rdrd\theta$$

在本小节,对这类方法进行拓展,并以例题的形式对变量替换法(换元法)进行说明

例题:计算$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1$椭圆面积

分析:考虑借助$u=\frac{x}{a},v=\frac{y}{b}$进行换元

  1. 此时可得微分关系:$du=\frac{1}{a}dx,dv\frac{1

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17.极坐标的二重积分及其应用

1 极坐标的二重积分

例题:计算二重积分$\int\int{1-x^2-y^2}dA$,限定区域在$x^2+y^2<1,x\geq 0,y\geq 0$

分析:考虑$sin^x+cos^2=1$的特性,极坐标化将极大简化运算过程

  1. 对变量进行极坐标化,带入$x=rcos\theta,y=rsin\theta$
  2. 对函数图像进行网格化处理,在笛卡尔坐标系中,函数区域将会细分为多个横平竖直的小矩阵;而在极坐标系中,函数区域将有无数从原点出发的射线与半径不一同心圆(具体结果如下图所示)
  3. 此时很明显$dr\cdot d\theta

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16.二重积分

1 二重积分

假设存在区域$R$与函数$f(x,y)$,对区域$r$进行网格化分割,其中第$i$块小格的面积为$\Delta A_i$,并且该小格的中心坐标为$(x_i,y_i)$,则函数$f$在区域$R$内的二重积分可表示如下: $$\int \! \! \!\int_{R} f(x,y)dA=\int \! \! \!\int_{R} f(x,y)dA$$ 其中,$dA$可以看作$dx$与$dy$的乘积(小格子都被近似看作为矩阵)

考虑单变量积分,其积分值表示函数曲线在特定区间下围绕产生的面积值。

同理,二重积分的几

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15.多变量微积分-第二次复习

1 Unit 2 知识点简单概括

截止到第十五节课,本课程的第二单元:偏微分(Unit 2 Partial derivatives)部分内容已完成,内容脉络简单梳理如下:

  • 偏导与绘图(等值面、切平面、马鞍图)
  • 极值与最优化问题(切平面逼近、最小二乘法)
  • 临界点与最值(鞍点、二阶导检验)
  • 微分理解与微分的应用(全微分,链式法则)
  • 梯度理解与梯度的应用(方向导数、拉格朗日乘数法)
  • 偏导的深入理解(非独立变量的依赖关系)

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