分类目录归档：MIT18.02多变量微积分
当给定函数$g(x,y,z)=c$的形式时，一般可以转化为$z=z(x,y)$的形式，然后进行推导出变量$z$与变量$x,y$之间的偏导（依赖关系），即： $$\frac{\partial{z}}{\partial{x}},\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$$ 问题：当$z=z(x,y)$的形式无法求解时，如何求解变量$z$与变量$x,y$之间的偏导？
例题：$x^2+yz+z^3=8$，求$z(x,y)$在点$(2,3,1)$处的偏导值
对原函数求微分
最值问题指寻找最佳的变量组合（变量间不独立），使得多元函数最大/最小
例题：求函数$xy=3$距原点最近的点
分析：
函数/问题：最小化函数$f(x,y)=x^2+y^2$ 关系/限制：$g(x,y)=xy=3$ 基本思路：当$f(x,y)$的等值线/面与$g(x,y)$相切，存在条件下的最优解
沿用上一小节的思路，并继续进行演变。$f(x,y)$的等值线/面与$g(x,y)$相切意味着两函数的法向量是平行的$\nabla_f //\nabla_g$，即$\nabla_f = \lambda \nabla
微分近似地描述当函数自变量的微小改变时，函数值的变化情况
以最简单的函数$y=f(x)$为例，其对应的微分为：$dy=f'(x)dx$
以函数$f(x,y,z)$为例，其对应的全微分为： $$df=f_xdx+f_ydy+f_zdz$$
$df\neq \Delta f$，$\Delta f$是一个数值，而$df$更像是一种占位符，有时无法给出特定的值，通过对自变量进行赋值，$df$能计算得出切线/切平面的近似值
微分计算最常用的一种场景就是链式法则
当$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$时，$f(x,y,z)$将变
偏导描述的是只考虑一个自变量变化时，因变量的变化情况。而当所有自变量都发生变化时（$x\to x+\Delta x,y\to y+\Delta y$），因变量$z=f(x,y)$的变化符合以下公式： $$\Delta z \approx f_x\Delta x+f_y \Delta y$$
证明：
- 对于点$(x_0,y_0)$，假设其对应的函数值为$z_0$
- 先固定$y=y_0$，根据偏导的几何性质可得切线$L_1:z=z_0+f_x(x-x_0)$
- 再固定$x=x_0$，根据偏导的几何性质可得切线$L_2
随着自变量的增多，单变量函数开始向多元函数演变。而由于收到维度的限制，函数的可视化一般局限于二元函数图像与三元函数的等值面图像。其中等值面通过固定多元函数的因变量为常数而得到，以函数$z=x^2+y^2$为例，其绘图过程如下：
密集的等值面图像可以直接构建多元函
截止到第七节课，本课程的第一单元：向量和矩阵（Unit 1 Vectors and matrices）部分内容已完成，内容脉络简单梳理如下：