个人笔记

1 平面方程

方程$ax+by+cz=d$定义了一个平面，此方程的矩阵形式如下： $$\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right] =d$$ 上面的式子也可以整理如下： $$\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \\

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1 矩阵

矩阵（Matrices）常用于描述变量间的线性关系

以坐标轴$P=(x_1,x_2,x_3)$变换到$(u_1,u_2,u_3)$为例，假设二者间的线性关系如下所示： $$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} u_1 = 2x_{1} + 3x_{2} + 3x_{3} \ \\ u_2 = 2x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} \ \\ u_3 = x_{1} + x_{2} + 2x_

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1 点积与行列式

已知三角形面积的计算公式为$S=\frac{1}{2}absin\theta$

则由向量$\vec{A}$和$\vec{B}$组成的平行四边形面积为$S=|\vec{A}||\vec{B}|sin\theta$

设$\vec{A'}$为向量$\vec{A}$逆时针旋转$90°$的结果，$\vec{A'}$与$\vec{B}$的夹角为$\theta'=\frac{\pi}{2}-\theta$

则平行四边形面积为$S=|\vec{A'}||\vec{B}|cos\theta'=\vec{A

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1 向量 Vector

向量$\vec{A}$主要由长度$|A|$和方向$dir(A)$组成，起点和终点不固定

2 点乘 Dot product

$$\vec{A}\cdot \vec{B}=\Sigma a_ib_i=|\vec{A}||\vec{B}|cos\theta$$ 点乘的结果是一个常数，同时包含了向量长度信息和夹角信息

点乘的证明（基于向量版余弦定理）：

• 定义向量$\vec{A}$和向量$\vec{B}$，量向量夹角为$\theta$
• 定义向量$\vec{C}=\vec{A}-\vec

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