1 矩阵
矩阵（Matrices）常用于描述变量间的线性关系
以坐标轴$P=(x_1,x_2,x_3)$变换到$(u_1,u_2,u_3)$为例，假设二者间的线性关系如下所示： $$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} u_1 = 2x_{1} + 3x_{2} + 3x_{3} \ \\ u_2 = 2x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} \ \\ u_3 = x_{1} + x_{2} + 2x_{3} \end{gathered} \right. \end{equation} $$ 则用矩阵表示形式如下： $$\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ \end{matrix} \right]$$
2 矩阵乘法
对于矩阵$AB=C$，$c_{i,j}=$矩阵$A$的第$i$行与矩阵$B$的第$j$列点乘求和，示例如下： $$\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} . & 0 \\ . & 3 \\ . & 0 \\ . & 2 \\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} . & 14 \\ . & . \\ . & . \\ \end{matrix} \right]$$
注意，矩阵$A$的列数应该等于矩阵$B$的行数
矩阵相乘从几何的角度可理解为两种线性变换的叠加
2阶单位矩阵（表示不进行线性变换）： $$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]$$ 表示进行逆时针旋转90°的2阶矩阵： $$R=\left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right]$$
3 逆矩阵
用$M=A^{-1}$表示$n$维矩阵$A$的逆矩阵，且$AM=MA=I_n$
逆矩阵的求解： $$A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}$$ 其中$adj(A)$表示矩阵$A$的伴随矩阵，$det(A)$表示矩阵$A$的行列式值
伴随矩阵的求解（以三阶矩阵为例说明）： $$A=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right]$$
- 计算代数余子式：元素$a_{i,j}$对应的代数余子式为矩阵$A$去除第$i$行和第$j$列后剩余矩阵的行列式值，比如元素$a_{1,1}$对应的代数余子式结果如下：
$$\left| \begin{matrix}
4 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{matrix} \right|=3$$
2. 根据棋盘图翻转结果：
$$步骤1结果：\left[ \begin{matrix}
3 & -1 & -2 \\
3 & 1 & -1 \\
3 & 4 & 2 \\
\end{matrix} \right] \ \
棋盘图：\left[ \begin{matrix}
- & - & + \\
- & + & - \\
- & - & + \\
\end{matrix} \right] \ \
步骤2结果：\left[ \begin{matrix}
3 & 1 & -2 \\
-3 & 1 & 1 \\
3 & -4 & 2 \\
\end{matrix} \right]$$
3. 矩阵转置，得到最终的伴随矩阵为：
$$\left[ \begin{matrix}
3 & -3 & 3 \\
1 & 1 & -4 \\
-2 & 1 & 2 \\
\end{matrix} \right]$$
4 参考
