1 向量 Vector
向量$\vec{A}$主要由长度$|A|$和方向$dir(A)$组成，起点和终点不固定
2 点乘 Dot product
$$\vec{A}\cdot \vec{B}=\Sigma a_ib_i=|\vec{A}||\vec{B}|cos\theta$$ 点乘的结果是一个常数，同时包含了向量长度信息和夹角信息
点乘的证明（基于向量版余弦定理）：
- 定义向量$\vec{A}$和向量$\vec{B}$，量向量夹角为$\theta$
- 定义向量$\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}$，这三个向量可组成三角形
- 易得$\vec{A}\cdot \vec{A}=|\vec{A}||\vec{A}|cos0=|\vec{A}|^2$
- 由余弦定理可得$|\vec{A}|^2+|\vec{B}|^2-2|\vec{A}||\vec{B}|cos\theta=|\vec{C}|^2$
- 而$|\vec{C}|^2=|\vec{A}-\vec{B}||\vec{A}-\vec{B}|=|\vec{A}|^2+|\vec{B}|^2-2|\vec{A}\cdot\vec{B}|$
- 所以$\vec{A}\cdot \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|cos\theta$，得证
3 点乘的应用
应用1：求角度 $$\theta=arccos(\frac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|})$$
应用2：检测正交性 $$\vec{A}\cdot \vec{B}=0 \iff \vec{A}\perp\vec{B}$$ 举例说明：$x+2y+3z=0 \Rightarrow <x,y,z>\cdot<1,2,3>=0$ 所以该方程的解集是与向量$<1,2,3>$垂直的平面
应用3：分解向量，即找到一个向量沿任意方向的分量
举例说明：设$\vec{u}$为单位向量，则$\vec{A}\cdot \vec{u}=|\vec{A}|cos\theta$是向量$\vec{A}$沿$\vec{u}$方向的分量
4 参考
