1 最值问题
最值问题指寻找最佳的变量组合（变量间不独立），使得多元函数最大/最小
例题：求函数$xy=3$距原点最近的点
分析：
函数/问题：最小化函数$f(x,y)=x^2+y^2$ 关系/限制：$g(x,y)=xy=3$ 基本思路：当$f(x,y)$的等值线/面与$g(x,y)$相切，存在条件下的最优解
2 拉格朗日乘数法
沿用上一小节的思路，并继续进行演变。$f(x,y)$的等值线/面与$g(x,y)$相切意味着两函数的法向量是平行的$\nabla_f //\nabla_g$，即$\nabla_f = \lambda \nabla_g$。可得方程组： $$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} f_x=\lambda g_x \ \\ f_y=\lambda g_y \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x=\lambda y \ \\ 2y=\lambda x \end{gathered} \right. \end{equation} $$ 对应的矩阵形式如下： $$\left[ \begin{matrix} 2 & -\lambda \\ \lambda & -2 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right] $$ 因为已知$xy=3$，所以方程组的解$(x,y)=(0,0)$不满足条件，左侧矩阵的行列式为$0$： $$\left| \begin{matrix} 2 & -\lambda \\ \lambda & -2 \\ \end{matrix} \right|=0$$ 解得$\lambda=\pm 2$，其中当$\lambda=-2$时，无解。所以可得$\lambda=2$，最终解得： $$(x,y)=(\sqrt{3},\sqrt{3})或(-\sqrt{3},-\sqrt{3})$$
- 以上过程中，参数$\lambda$也被称为乘子。整个流程也被称为拉格朗日乘子法
- 拉格朗日乘子法常用于处理带约束的函数最值问题，很多情况下需要借助计算机辅助运算
- 拉格朗日乘子法所得的结果只是一种临界点，需要进一步检验（比如数值代入法）才能确定临界点对应的是最大值还是最小值
3 参考
