1 微分
微分近似地描述当函数自变量的微小改变时，函数值的变化情况
以最简单的函数$y=f(x)$为例，其对应的微分为：$dy=f'(x)dx$
以函数$f(x,y,z)$为例，其对应的全微分为： $$df=f_xdx+f_ydy+f_zdz$$
$df\neq \Delta f$，$\Delta f$是一个数值，而$df$更像是一种占位符，有时无法给出特定的值，通过对自变量进行赋值，$df$能计算得出切线/切平面的近似值
微分计算最常用的一种场景就是链式法则
2 链式法则
当$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$时，$f(x,y,z)$将变为$t$的函数，并且导数为： $$\frac{df}{dt}=f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt}+f_z\frac{dz}{dt}$$ 链式法则的示例1： $$f=f(x,y),x=x(u,v),y=y(u,v)$$ $$\frac{\partial{f}}{\partial{u}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}$$ $$\frac{\partial{f}}{\partial{v}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{v}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{v}}$$
注意：$\partial{x}$是偏导运算，所以不能随便约分
链式法则的示例2： $$f=f(x,y),x=rcos\theta ,y=rsin\theta$$ $$f_r=f_xx_r+f_yy_r=cos\theta f_x+sin\theta f_y$$ $$f_\theta=f_xx_\theta+f_yy_\theta=-rsin\theta f_x+rcos\theta f_y$$
3 参考
