1 梯度
回归上一节，对于函数$w(x,y,z)$，当$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$时，求导可得： $$\frac{dw}{dt}=w_x\frac{dx}{dt}+w_y\frac{dy}{dt}+w_z\frac{dz}{dt}=\nabla_w\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}$$
这里其实是一种将多元微分从乘加形式向点积形式的简化转换
其中$\nabla_w$表示梯度向量，为各方向偏导组成的向量： $$\nabla_w=<w_x,w_y,w_z>$$ 其中$\frac{d\vec{r}}{dt}$表示速度向量$\vec{v}$： $$\frac{d\vec{r}}{dt}=<\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}>$$ 例题：以$w=x^2+y^2$为例，对应的梯度为$<2x,2y>$
取任意的常数值$c$，令$x^2+y^2=c$可得函数$w$的等值面
梯度性质：梯度向量垂直于函数的等值线（面）
梯度性质拓展：梯度向量指向函数值增长最快的方向
2 梯度性质证明
当函数值$w=c$时，$\Delta w(t)=0$，即$\nabla_w \cdot \vec{v}=0$，所以$\nabla_w$与$\vec{v}$垂直
由于$\vec{v}$与等值面相切（这里是一种速度与轨迹间的相切关系）且$\vec{v}$是任意的
而所有的$\vec{v}$构成了切平面（确保结论在任意高维上，依然成立）
可得$\nabla_w$垂直于切平面，所以$\nabla_w$垂直于等值面
注意：这里的证明借助了线性近似的思想，用切平面代替等值面
例题：求解$x^2+y^2-z^2=4$在点$(2,1,1)$处的切平面
计算可得此点的梯度为$\nabla_w=<4,2,-2>$
根据梯度性质可得切平面为$4x+2y-2z=k$，带入点$(2,1,1)$
解得$k=8$，所以切平面方程为$4x+2y-2z=8$
3 方向导数
假设存在函数$w=w(x,y)$，其在$x$轴和$y$轴方向的方向导数为$\frac{\partial{w}}{\partial{x}},\frac{\partial{w}}{\partial{y}}$
思考：对于任意的向量$\vec{u}=<a,b>$，如何计算函数$w$在方向$\vec{u}$上的导数
解决：考虑链式发展，并进行x和y的扩展
- 引入变量$s$，并令$x(s)=x_0+as$，$y(s)=y_0+as$
- 将$x(s)$和$y(s)$带入函数$w$后求导，得到${\frac{dw}{ds}}_{|\vec{u}}$
- ${\frac{dw}{ds}}_{|\vec{u}}$即函数沿$\vec{u}$方向的导数
假设$\vec{u}$为单位向量： $${\frac{dw}{ds}}_{|\vec{u}}=\nabla_w\cdot \vec{u}=|\nabla_w|cos(\theta)$$
深入理解方向导数
- 当$\theta=0$时，$cos(\theta)=1$，此时$\vec{u}$与梯度方向平行，方向导数最大，说明对应的函数变化最大，所以梯度向量指向函数值增长最快的方向
- 当$\theta=90°$时，$cos(\theta)=0$，此时$\vec{u}$与梯度方向垂直，方向导数为0，函数值不再变化（对应等值面的定义），$\vec{u}$属于切平面，与等值面相切
4 参考
