1 旋度与力场
关于旋度的前置知识可参考之前的21课时中对于旋度的理解
速度场的旋度描述的是速度中的旋转运动分量，也就是角速度
加速度场的旋度描述的是加速度中的旋转运动分量，也就是角加速度
力场的旋度描述的是力的旋转分量，是扭矩力矩与转动惯性的比例，即单位质量的扭转力矩，更具体的来说： $$curl(\frac{力}{质量})=2\frac{扭矩力矩}{转动惯性}$$ 对于保守场$\vec{F}$来说，力来自于势能，而势能会依据能力守恒定律，转化为动能，因此此时的$\vec{F}$不会产生用于旋转的分量，即$curl(\vec{F})=0$
以上这句话阐明了理想条件下（地球是刚体）地球自转与万有引力是无关的，当然实际情况中地球和月球间的旋转同步主要来自于万有引力引起的形变、摩擦、潮汐作用（所以月球会有一面永远背对着地球）
至于地球自转的背后成因是复杂的，目前无法给出较为完备的解释，诸如地震或陨石撞击等随机事件，也都会影响到地球的自转速度
2 麦克斯韦方程组
当考虑旋度、散度在电磁场中的应用时，便有一组绕不去的公式存在——麦克斯韦方程组，它由四个方程组成，描述了电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的偏微分关系：
- 高斯电场（Gauss-Coulomb）定律
在电场$\vec{E}$中，通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量$Q$成正比： $$电通量=∯_S \vec{E}\cdot d\vec{s}=\frac{Q}{\epsilon_0}=\frac{1}{\epsilon_0}\int \! \! \!\int \! \! \!\int_D\rho dV$$ 其中$\epsilon_0$为常数（真空介电常数），$\rho$表示电荷密度：$\rho=\frac{Q}{V}$
借助散度定理，以上公式可转换为如下形式： $$电通量=\int \! \! \!\int \! \! \!\int_Ddiv( \vec{E})dV=\frac{1}{\epsilon_0}\int \! \! \!\int \! \! \!\int_D\rho dV$$ 简化为微分形式，可得电场散度与电荷密度关系：$div(\vec{E})=\nabla\cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$
- 法拉第（Faraday）定理
在磁场$\vec{B}$中，曲面的磁通量变化率等于感生电场的环流，其中电场的环流就是电场沿着闭合路径$C$的线积分（即电动势，电场对沿着路径$C$移动单位电荷所做的功）： $$∮_C\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int \! \! \!\int_S(\nabla \times \vec{E})\cdot d\vec{S}=-\frac{\partial}{\partial t}\int \! \! \!\int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}$$ 以上公式的转换使用了斯托克斯定理，并可简化为如下的微分形式： $$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$$ 3. 高斯磁场定律
在磁场$\vec{B}$中，闭合曲面包含的磁通量恒为0（磁场散度为0）：$\nabla\cdot \vec{B}=0$
- 安培-麦克斯韦定律
在电场$\vec{E}$中，电荷运动产生磁场旋度（交流电产生磁场）： $$\nabla \times \vec{B}=\mu_0\vec{J}+\epsilon_o\mu_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$$ 其中$\vec{J}$表示电流密度
麦克斯韦方程组简单理解
- 高斯电场定律描述了电场散度与电荷密度关系
- 法拉第定理刻画了变化的磁通量如何产生电场的过程
- 高斯磁场定律描述了磁场散度为0的事实
- 安培-麦克斯韦定律刻画了交流电产生磁场的过程
- 麦克斯韦方程组实现了电与磁的完美统一，整体真的很漂亮
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3 参考
