1 球坐标系下的三重积分
球坐标系是三维坐标系的一种，以坐标原点为参考点，点$P$的坐标由方位角$\theta$（线$OP$投影到$xy$平面后与$x$轴的夹角）、仰角$\phi$（线$OP$与$z$轴的夹角）和距离$\rho$（点到原点的距离）构成。经纬度就是球坐标系的一种常见形式，其中$\theta$与经度相似，$\phi$与维度相似。
球坐标化通过以下公式实现从$(x,y,z)$到$(\rho,\phi,\theta)$的转化： $$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} r=\rho sin\theta \ \\ x=rcos\theta=\rho sin\phi cos\theta \ \\ y=rsin\theta=\rho sin\phi sin\theta \ \\ z=\rho cos\phi \ \\ \rho=\sqrt{r^2+z^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{gathered} \right. \end{equation}$$
不难发现，直角坐标系会先进行柱坐标化，再实现的球坐标化
如上图所示，当$\Delta \phi$和$\Delta \theta$产生很小变化时，对应的面积变化$\Delta S$： $$\Delta S=p\cdot q\approx a\Delta \phi\cdot asin\phi \Delta\theta=a^2sin\phi \Delta \phi \Delta\theta$$ 将距离$a$替换为$rho$，由此可得球坐标系下三重积分的体积积元$dV$： $$dV=\rho^2 sin\phi d\rho d\phi d\theta$$
2 球坐标系下的三重积分示例
计算单位球和$z = 2^{-\frac{1}{2}}$所围的区域的体积：
易判断$\theta$的取值范围在$[0,2\pi]$，$\phi$的取值范围在$[0,\frac{\pi}{4}]$
由上图可知，$\rho$的最大取值为1，最小取值受到$\phi$的制约。当$\phi$等于0时，$\rho$的最小取值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；当$\phi$大于0时，$\rho$的最小取值为$\frac{\sqrt{2}}{2}sec\phi$。所以本示例最终计算过程如下： $$\int \! \! \! \int \! \! \! \int dV=\int \! \! \! \int \! \! \! \int \rho^2 sin\phi d\rho d\phi d\theta = \int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}sec\phi}^1 \rho^2 sin\phi d\rho d\phi d\theta$$
3 球坐标系下的三重积分应用
已知原点位置存在固定的物体$A$，其质量为$m$，在$(x,y,z)$处存在另一个物体$B$，其在此位置的局部质量为$\Delta M$，根据万有引力定理可知，引力的大小和方向分别为： $$|F|=\frac{G\Delta Mm}{\rho^2},dir(\vec{F})=\frac{<x,y,z>}{\rho}$$ 对于物体$B$来说，其在某点的局部质量是由局部体积和密度决定的：$\Delta M=\delta \Delta V$
所以两物体间的万有引力可以通过以下三重积分进行求解： $$\vec{F}=\int \! \! \! \int \! \! \! \int_R\frac{Gm}{\rho^3}<x,y,z> \delta dV$$ 同理，也可以只求解万有引力沿$z$轴方向的结果： $$\vec{F_z}=\int \! \! \! \int \! \! \! \int_R\frac{Gmz}{\rho^3}\delta dV$$
4 参考
