1 多项式导数的推广
$$\frac{d}{dr}x^r=rx^{r-1}$$ 其中$r \in$实数
快速证明 $$\frac{d}{dr}x^r=\frac{d}{dr}e^{ln(x^r)}=e^{ln(x^r)}\times r \times \frac{1}{x}=rx^{r-1}$$
2 自然对数的常见应用
股票指数，以FTSE100为例
- FTSE100全称为伦敦金融时报100指数，简称英国富时100指数
- 欧洲三大股票指数包括：30工业股、FT-100、综合精算股
- 假设FTSE100下降$\Delta P$，则下降比率为$\frac{\Delta P}{P}$
- 通过时间无限细化近似可得瞬时变化$P'$，且$\frac{P'}{P}=(ln(P))’$
- 所有与比率变化相关的计算都会涉及对数
- 股票趋势分析常用对数坐标
导航的简化计算
- 导航中经常会出现诸如$sin(x)$或$cos(x)$的三角函数
- 用对数处理可以简化运算，如$\frac{d}{dx}ln(sec(x))=tan(x)$
3 由导数推极限
某些差商形式的极限可以转化为导数进行计算
示例：求解极限$\lim_{u \to 0}\frac{e^u-1}{u}$ $$\lim_{u \to 0}\frac{e^u-1}{u}=\lim_{u \to 0}\frac{e^u-e^0}{u-0}=\frac{d}{dx}e^u|_{u=0}=e^0=1$$
4 Unit 1 知识点简单概括
截止到第七节课，本课程的第一单元：微分（Unit 1 Differentation）部分内容已完成，内容脉络简单梳理如下：
- 导数的定义和理解（几何意义、物理意义）
- 极限和连续的概念（函数的四种间断点、可导必连续）
- 求导的四则运算（导数的加减乘除法则）
- 求导的进阶运算（链式法则、高阶导数、隐函数微积分）
- 常见函数的求导证明（多项式、三角函数、指数、对数）
5 参考
