1 微分方程 differential equation
例： $$(\frac{d}{dx}+x)y=0$$
具体详见： #待补充
2 变量分离法
求解上方例题
- 尽量将$x$和$dx$放在一边，$y$和$dy$放在另一边
- 假设$y\neq0$，将$\frac{dy}{dx}+xy=0$转化为$\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}$
- 两边同时积分可得$\int \frac{dy}{y}=\int-xdx$
- 化简可得$ln(y)=-\frac{x^2}{2}+c$，即$y=e^ce^{\frac{-x^2}{2}}=ce^{\frac{-x^2}{2}}$
- 除此之外，$y=0$也是一个解（注意细节！）
函数$y=e^ce^{\frac{-x^2}{2}}$的性质
- 此函数形式为大名鼎鼎的正态分布
- 而原微分方程中的$(\frac{d}{dx}+x)$部分在量子力学中称为湮灭算符(annihilation operator)，而另一种创生算符则是$(\frac{d}{dx}-x)$
- 谐振子的基态就是由这个方程决定的
- 方程解为量子力学的概率解释
- 看懂了一点，但又一点都没完全看懂，有机会再说，哈哈哈
3 Unit 2 知识点简单概括
截止到第十五节课，本课程的第二单元：导数的应用（Unit 2 Applications of Differentiation）部分内容已完成，内容脉络简单梳理如下：
- 用导数近似函数（线性近似、二阶近似）
- 用导数理解图像（函数的单调性和凹凸性，曲线构图）
- 函数的最值问题（相关变率、斜拉桥原理）
- 牛顿迭代法（函数求解，误差分析，条件限制）
- 中值定理（定理证明，三大推论）
- 微分方程和不定积分（换元法，变量分离法）
4 参考
