1 微积分第一定理
Fundamental Theorem of Calculus（FCT1）: $$\text{If }F'(x)=f(x)\text{, then }\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b$$
定积分的理解
- 几何解释：积分应该等于函数曲线在X轴以上的面积减去在X轴之下的面积
- 物理解释：思考函数为描述速度$v(t)$，则其原函数$\int_a^b|v(t)|dt$会是描述路程的
2 定积分的性质
- $\int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$
- $\int_a^b cf(x)dx=c\int_a^bf(x)dx$
- $\text{if }a<b<c,\int_a^cf(x)dx=\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx$
- $\int_a^af(x)dx=0$
- $\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx$
- 积分估计：$\text{If }f(x)\leq g(x)\text{, then }\int_a^bf(x)dx\leq \int_a^bg(x)dx(b>a)$
3 定积分的应用
证明：$e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}+...+\frac{x^n}{n!}(x\geq0)$
- 首先可以确定的是$e^x\geq 1(x\geq0)$
- 根据积分估计，对上式两边进行定积分运算
- 可得$\int_0^be^xdx\geq \int_0^b1dx(b\geq0)$
- 化简可得$e^x\geq 1+x$
- 重复上述定积分运算$n$次，可证得结论
4 换元法求解定积分
计算：$\int_{1}^2(x^3+2)^5x^2dx$
- 带入$u=x^3+2$可得
- $\int_3^{10}u^5\frac{1}{3}du=\frac{u^6}{18}|_3^{10}$
- 注意对积分上下限进行相应变换
思考：为什么$\int_{-1}^1x^2dx\neq \int_1^1u\frac{1}{2\sqrt{u}}du=0$
- 首先从定积分的几何解释（积分应该等于函数曲线在X轴以上的面积减去在X轴之下的面积）思考，由此可知$\int_{-1}^1x^2dx\neq0$
- 可考虑$u=x^2$的情况下，$u$、$u'$和$x$的符号关系：当$x>0$时，$u>0$且$u'>0$，而当$x<0$时，$u>0$但$u'<0$，此时$u$和$u'$的符号变化是不一致的，而这就是问题的关键
- 出现这种问题时，正确的方法应该是分情况讨论，即当$x>0$时，$dx=+\frac{1}{2\sqrt{u}}du$，而当$x<0$时，$dx=-\frac{1}{2\sqrt{u}}du$
- 总结来说，换元法只有在$u'$没有改变符号时才是有效的
5 参考
