1 线性近似和二阶近似补充
$$\lim_{k \to \infty}a_k=\lim_{k \to \infty}(1+\frac{1}{k})^k=e$$
利用线性近似进行更简单的证明
- $ln(a_k)=k\times ln(1+\frac{1}{k})\approx k\times \frac{1}{k}=1$
二阶近似的性质
- $ln(a_k)=k\times ln(1+\frac{1}{k})\approx k\times (\frac{1}{k}-\frac{1}{2k^2})=1-\frac{1}{2k}$
- $ln(a_k)$描述的是 $a_k$的变化比率
- $ln(a_k)-ln(0)$描述的是 $a_k$趋近于$0$的速度
- 二阶近似可以用于求解收敛速度
2 曲线构图
| 导数的正负性 | 函数性质 | |
|---|---|---|
| $f'>0$ | 函数递增 | |
| $f'<0$ | 函数递减 | |
| $f''>0$ | 凸函数 | |
| $f''<0$ | 凹函数 |
- $f'=0$所在位置为函数驻点-函数的单调性可能在此处改变
- $f''=0$所在位置为函数拐点-函数的凹凸性可能在此处改变
- 左右一阶导数符号相反的点为函数极值点
注意：
- 国内数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。
- Convex Function在国内的数学书中指凹函数，Concave Function指凸函数。感觉好奇怪，比较反直观，但是据说经济学方面的书定义又是反过来的。
- 二阶导数的几何定义是函数曲线的弯曲状态，二阶导数大的地方，曲线的峰陡峭尖锐，二阶导数导数小的地方，曲线变化平缓。
3 参考
