1 部分分式法
将函数表达式拆分成一些可以积分的简单分式。
比如$\int \frac{4x-1}{x^2+x-2}dx=\int(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{x+2})dx=ln|x-1|+3ln|x+2|+C$
而“掩盖法（cover-up）”就是一种常见的函数转换方法
2 掩盖法
掩盖法适用于函数$Q(x)$有不同的线性因子的情况，且分子最高次小于分母
以上一节的例题中表达式为例
- $\frac{4x-1}{x^2+x-2}=\frac{4x-1}{(x+1)(x-2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}$
- 两边同乘以$x+1$得$\frac{4x-1}{x-2}=A+\frac{x+1}{x-2}B$
- 令$x=-1$ 可得$A=1$；同理两边同乘$x-2$并令$x=2$，可得$B=3$
步骤总结：
- factor the denominator Q: 把分母Q因式分解
- set up: 建立等式（设定A, B等未知系数）
- cover-up: “掩盖”（通往未知系数的捷径）
3 掩盖法的特殊情况
线性因子重复时建立等式：$\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+2}$（此时A不能“掩盖”，需要通过带入特殊值来求解，比如$x=0$）
因子有二次项时建立等式：$\frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$（此时可考虑借助复数再次对分母$x^2+1$进行因式分解，或者直接对比等式两侧系数，建立线性方程组求解）（此情况可用于拉普拉斯变换上微分方程的反演问题，？不太懂= =）
三次项有的是可分解的：$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$
遇见假分数 improper fraction（分子最高次项大于分母）时用长除法 long division 进行处理：$$\frac{x^3}{(x-1)(x+2)}=\frac{x^3}{x^2+x-2}=x-1+\frac{3x-2}{x^2+x-2}$$
4 参考
