1 洛必达法则补充
$$\begin{equation}
IF = \left\{
\begin{array}{rl}
f(x)\to \infty \\ \\
g(x)\to \infty \\ \\
\frac{f'(x)}{g'(x)}\to L
\end{array} \right.
\end{equation}
\ \ \ AS \ \ x\to a \ \ THEN \ \frac{f(x)}{g(x)}\ to \ \ L
$$
2 反常积分 improper intergrals
- 反常积分又叫广义积分，或者瑕积分，
- 指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分
- 反常积分是对普通定积分的推广，
对于函数$\int_a^{\infty}f(x)dx=lim_{N\to \infty}\int_a^Nf(x)dx$
如果极限存在则函数是收敛的（converge），否则是发散的（diverge）
几何解释：该函数下的面积是有限的，则该函数收敛。若面积为无限，则函数发散。
3 反常积分示例
题目1：计算粒子衰减的平均衰减度$\int_0^TAe^{-kt}dt$
- 令$T\to \infty$可得$\int_0^{\infty}Ae^{-kt}dt=-\frac{1}{k}Ae^{-kt}|_0^{\infty}=\frac{A}{k}$
- 平均衰减度即0至T时间内的辐射粒子数（物理学）
题目2：计算$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$
- $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$
- 上式计算过程详见2 积分计算示例
- 此公式结果是概率论中的常用数字，常用应用场景包括保险、博彩模型
- 以及控制民意调查误差，比如确保误差低于4%
题目3：讨论函数$\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}$的收敛性与发散性
- $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}=\frac{x^{-p+1}}{-p-1}|_1^{\infty}=\frac{\infty^{-p+1}}{-p-1}-\frac{1}{p+1}$
- 当$p\leq1$时，$\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}=\infty$，函数是发散的
- 当$p>1$时，$\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}=\frac{1}{p-1}$，函数是收敛的
当$lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1$时，$f(x)$和$g(x)$的收敛性与发散性是一致的
题目4：讨论函数$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$的收敛性与发散性
- $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx$（偶函数）
- 当$x\geq 1$时，$e^{-x^2}\leq e^{-x}$
- 所以$2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx\leq 2\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx+2\int_{1}^{\infty}e^{-x}dx$
- 易得拆分后的两部分都是有限的，所以函数$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$是收敛的
4 参考
