个人笔记

1 三角函数的微积分

三角函数恒等式：

$$secx=\frac{1}{cosx}$$ $$cscx=\frac{1}{sinx}$$ $$cotx=\frac{cosx}{sinx}$$ $$se{c}^{2}x=\frac{1}{co{s}^x}=1+ta{n}^{2}x$$

三角函数的微积分：

$$ta{n}^{\prime }x=se{c}^{2}x$$ $$se{c}^{\prime }x=secxtanx$$ $$\int tanx=-ln(cos)+C$$ $$\int secx=ln(secx+tanx)+C$$

证明：$\int secx=ln(secx+tanx)+C$

• $(tanx+secx{)}^{\prime }=(secx+tanx)secx$，由换元法可得
• $u^{\prime }=usecx$，两边同时除以$u$然后积分可得
• $\int secx=\int \frac{u^{\prime }}{u}=lnu+C=ln(secx+tanx)+C$，得证

2 三角函数的积分实例

题目：求解$\int se{c}^{4}xdx$

• $\int se{c}^{4}xdx=\int (1+ta{n}^{2}x)se{c}^{2}xdx=\int (1+u^2)du$
• 后续略

3 配方法

常用三角替换的函数形式

通过配方法可以简化被积函数中根号下的表达式，转为上表中的常见形式

例题： $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-4x}}$$

• 根据配方法，可进行如下转换$\sqrt{x^2-4x}=\sqrt{(x+2{)}^2-4}$
• 利用换元法，带入$u=x+2$，则$du=dx$
• 则$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-4x}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^2-4}}$
• 利用三角替换，带入$2sec\theta =u$，则$du=2sec\theta tan\theta d\theta$
• 则$\int \frac{du}{\sqrt{u^2-4}}=\int \frac{2sec\theta tan\theta }{2tan\theta }d\theta =\int sec\theta d\theta$
• 回代$sec\theta =\frac{u}{2}$、$tan\theta =\frac{\sqrt{u^2-4}}{2}$、$u=x+2$，即可得最终结果

4 参考

MIT—单变量微积分笔记28 反向变量替换、配方

#三角函数 #配方法