1 三角函数的微积分
三角函数恒等式：
$$secx=\frac{1}{cosx}$$ $$cscx=\frac{1}{sinx}$$ $$cotx=\frac{cosx}{sinx}$$ $$sec^2x=\frac{1}{cos^x}=1+tan^2x$$
三角函数的微积分：
$$tan'x=sec^2x$$ $$sec'x=secx\ tanx$$ $$\int tanx=-ln(cos)+C$$ $$\int secx=ln(secx+tanx)+C$$
证明：$\int secx=ln(secx+tanx)+C$
- $(tanx+secx)'=(secx+tanx)secx$，由换元法可得
- $u'=usecx$，两边同时除以$u$然后积分可得
- $\int secx=\int\frac{u'}{u}=lnu+C=ln(secx+tanx)+C$，得证
2 三角函数的积分实例
题目：求解$\int sec^4xdx$
- $\int sec^4xdx=\int (1+tan^2x)sec^2xdx=\int (1+u^2)du$
- 后续略
3 配方法
常用三角替换的函数形式
| 被积函数包含 | 三角替换 | 被积函数变为 |
|---|---|---|
| $\sqrt{a^2-x^2}$ | $x=acos\theta$ | $x=asin\theta$ |
| $\sqrt{a^2-x^2}$ | $asin\theta$ | $acos\theta$ |
| $\sqrt{a^2+x^2}$ | $x=atan\theta$ | $asec\theta$ |
| $\sqrt{x^2-a^2}$ | $x=asec\theta$ | $atan\theta$ |
通过配方法可以简化被积函数中根号下的表达式，转为上表中的常见形式
例题： $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-4x}}$$
- 根据配方法，可进行如下转换$\sqrt{x^2-4x}=\sqrt{(x+2)^2-4}$
- 利用换元法，带入$u=x+2$，则$du=dx$
- 则$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-4x}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^2-4}}$
- 利用三角替换，带入$2sec\theta=u$，则$du=2sec\theta\ tan\theta\ d\theta$
- 则$\int \frac{du}{\sqrt{u^2-4}}=\int \frac{2sec\theta\ tan\theta}{2tan\theta}d\theta=\int sec\theta d\theta$
- 回代$sec\theta =\frac{u}{2}$、$tan\theta =\frac{\sqrt{u^2-4}}{2}$、$u=x+2$，即可得最终结果
4 参考
