25.反向变量替换与配方

1 三角函数的微积分

三角函数恒等式:

secx=1cosx cscx=1sinx cotx=cosxsinx sec2x=1cosx=1+tan2x

三角函数的微积分:

tanx=sec2x secx=secx tanx tanx=ln(cos)+C secx=ln(secx+tanx)+C

证明:secx=ln(secx+tanx)+C

  • (tanx+secx)=(secx+tanx)secx,由换元法可得
  • u=usecx,两边同时除以u然后积分可得
  • secx=uu=lnu+C=ln(secx+tanx)+C,得证

2 三角函数的积分实例

题目:求解sec4xdx

  • sec4xdx=(1+tan2x)sec2xdx=(1+u2)du
  • 后续略

3 配方法

常用三角替换的函数形式

被积函数包含 三角替换 被积函数变为
a2x2 x=acosθ x=asinθ
a2x2 asinθ acosθ
a2+x2 x=atanθ asecθ
x2a2 x=asecθ atanθ

通过配方法可以简化被积函数中根号下的表达式,转为上表中的常见形式

例题: dxx24x

  • 根据配方法,可进行如下转换x24x=(x+2)24
  • 利用换元法,带入u=x+2,则du=dx
  • dxx24x=duu24
  • 利用三角替换,带入2secθ=u,则du=2secθ tanθ dθ
  • duu24=2secθ tanθ2tanθdθ=secθdθ
  • 回代secθ=u2tanθ=u242u=x+2,即可得最终结果

4 参考

MIT—单变量微积分笔记28 反向变量替换、配方

#三角函数 #配方法

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