单位根
单位根又叫（unit root）。
当一个自回归过程中：$$y_{t} = by_{t-1} + a + \epsilon _{t}$$ 如果滞后项系数b为1，就称为单位根。当单位根存在时，自变量和因变量之间的关系具有欺骗性，因为残差序列的任何误差都不会随着样本量（即时期数）增大而衰减，也就是说模型中的残差的影响是永久的。这种回归又称作伪回归。如果单位根存在，这个过程就是一个随机漫步（random walk）。
补充：解释变量（即滞后被解释变量）的系数应该有三种情况：
- 小于1：不存在单位根，此时被解释变量随时间会趋于收敛，期望，方差也会存在且与时间无关，即序列平稳。
- 等于1：时间序列均不平稳，等于1的情况就是存在单位根
- 大于1：时间序列均不平稳，这种情况被默认忽略了，因为现实中不可能出现。
平稳性
强平稳性：要求序列的所有统计性质都是关于时间平移不变的
弱平稳性：要求序列的期望和协方差不随着时间的推移而变化
强平稳的条件更严格，但不能说满足强平稳就一定弱平稳
弱平稳性的检验一般通过 DF 检验和 ADF 检验来实现
DF 检验
也就是 Dickey-Fuller 检验
$$y_t = \alpha+\beta t+\gamma y_{t-1}+\epsilon_t $$
公式解读：
- $\alpha$ 表示漂移项，即相当于回归中的截距
- $\beta$ 表示趋势项，趋势可通过线性回归的方式剔除
- $\gamma$ 表示滞后项，描述不同时间点的变量之间的自相关性
- $\epsilon_t$ 表示随机误差
DF检验主要通过构建分布进行假设检验的方式，验证$\gamma$的绝对值是否小于0，即过去对未来的影响是否会随着时间的推移消失。
- H0 假设就是$|\gamma|\geq1$
- H1 假设就是$|\gamma|<1$
统计量构建及其计算方法 #待补充
ADF 检验
ADF 检验也就是“增广的”Dickey-Fuller 检验，是 DF 检验的一种拓展，而 DF 检验也可以看作是 ADF 在 p=1时的特例。
$$y_t = \alpha+\beta t+\gamma y_{t-1} + \sum_{k=1}^{p-1} \zeta_i y_{t-i}+\epsilon_t $$
ADF检验就是判断序列是否存在单位根，所以ADF检验，也叫单位根检验。
如果序列平稳，就不存在单位根；否则，就会存在单位根。
- H0 假设就是$|\gamma|\geq1$
- H1 假设就是$|\gamma|<1$
所以，ADF检验的原假设含义就是存在单位根，如果得到的显著性检验统计量小于三个置信度（10%，5%，1%），则对应有（90%，95，99%）的把握来拒绝原假设。
自相关和偏自相关
自相关函数 （auto correlation function，ACF） $$ ACF(k)=\rho_k=\frac{\mathrm{Cov}(y_t,y_{t-k})}{\mathrm{Var}(y_t)} $$
- 度量了一个时间序列，现在值与其过去值的相关性
- 如果相关性为正，则说明现有趋势将继续保持
偏自相关函数（partial autocorrelation function，PACF） $$ x_t=\phi_1x_{t-1}+\phi_2x_{t-2}+\ldots+\phi_kx_{t-k}+\epsilon_t $$
- PACF 值的计算需要先构建自回归模型（上式），其中 $PACF(k)=\phi_k$
- PACF 描述了在考虑中间值的情况下，现在值与其过去值的相关性
奥恩斯坦-乌伦贝克过程
公式如下： $$dx_t=\theta (u-x_t)dt+\sigma dW_t$$ 主要分为两个部分：
- 前半部分的 $\theta (u-x_t)dt$ 描述的是一个
均值回归的过程 - 后半部分 $\sigma dW_t$ 描述的其实是一个
布朗运动/随机游走
换成金融语言，就是指（价格的波动）与（价格均值和现价的差）成正比
赫斯特指数
无记忆性序列
- 假设我们有一组相互独立，均值为 0 方差为 1 的随机变量按时间依次出现，并组成了一个时间序列。这个时间序列在某段时间跨度 T 内的变化范围和 T 的 1/2 次方呈线性关系。我们熟悉的标准布朗运动的增量就满足这个性质（增量之间是相互独立的）。
长记忆性与赫斯特指数
- 1951 年，英国水文学家赫斯特（Harold Edwin Hurst）在研究尼罗河水位变化时发现了时间序列中存在的长记忆性（
long-term memory），在诸如降雨量、树的年轮，太阳耀斑等自然现象中存在的很多时间序列，它们在时间跨度 T 内的变化范围并不是和 T 的 1/2 次方成正比，而是和比 1/2 更高的次方成正比。 - 这表明这些时间序列的取值之间不是独立的，而是相互影响，即时间序列的自相关系数不为 0。为了纪念他的发现，后人使用赫斯特指数（
Hurst exponent，记为$H$）来刻画一个时间序列的长记忆性。
长记忆性与幂律衰减
- 长记忆性是和短期相关性（
short-term dependency）相对应的。 - 一个具有短期相关性的时间序列它的自相关系数随着间隔（
lag）的增大很快衰减为 0 或者按指数衰减；而对于具有长记忆性的时间序列，它的自相关系数衰减的更慢。 - 这个定义说明，如果一个平稳时间序列的自相关函数 [公式] 的衰减速度服从幂律衰减（即比指数衰减慢），那么这个时间序列就具备长记忆性。
- 记忆性体现在自相关函数的非独立性上，而
long体现在衰减的慢。
Hurst 指数 H 就用来刻画这种长记忆性；它被用来测量一个时间序列的波动范围如何随时间跨度变化，即随着 $n \longrightarrow\infty$：
$$ E \left[\frac{R(n)}{S(n)}\right]= An^H $$
公式解读：
- $n$是时间序列观测点的个数，代表时间跨度大小
- $R(n)$是这$n$个观测点的变化范围（max-min）
- $S(n)$是这$n$个观测点的标准差（std）
- $\frac{R(n)}{S(n)}$表示通过$S(n)$对$R(n)$进行标准化，称为重标极差（
rescaled range）- $A$ 是常数；$H$ 就是 Hurst 指数
$H$的取值范围在 0 和 1 之间（不包括 0 和 1）。当$H=1/2$ 时，该时间序列没有相关性。当 $H>1/2$ 时，该时间序列有长记忆性；当$H<1/2$时，该时间序列表现出反持续性，因此它表现出比纯随机更强的波动。