6.指数和对数的导数

1 指数(exponential)的导数Part1

ddxax=limΔx0ax+ΔxaxΔx=axlimΔx0aΔx1Δx=M(a)ax

  • 其中a表示某一固定常数,M(a)表示某一固定函数值
  • x=0时,M(a)ax=M(a)
  • M(a)表示指数函数在x=0处的斜率
  • 只要知道一处的斜率,就能推导出指数函数在任意处的斜率

2 自然常数e

定义唯一数e,确保M(e)=1a=e,带入指数求导 ddxex=M(e)ex=exe为底的对数被称为自然对数loge(x)=ln(x)

e的存在性证明

  • 随意设定a=2,则f(x)=2xf(0)=M(2)
  • 对函数进行x轴的伸缩变换,设变换比例为k,则f(kx)=2kx
  • b=2k可得f(kx)=bx
  • x=0处求导,f(kx)|x=0=kf(0)=kM(2)
  • k=1M(2)时,f(kx)|x=0=ddxdx1|x=0=1
  • 对于任意的a=a0,都可以通过变换k=1M(a0)使得b=e
  • 所以e是存在的

3 指数(exponential)的导数Part2

理解自然常数e后,可继续进行指数导数的推导 ddxax=ddxeln(a)x=ln(a)eln(a)x=ln(a)ax 所以M(a)=ln(a)

4 对数(logarithm)的导数

ddxln(x)=1x

证明过程

  • w=ln(x),则ew=x
  • 两侧求导可得ddxew=ddxx=1
  • 根据链式法则可得(ddxew)(dwdx)=1
  • 化简可得dwdx=1ew=1x

5 练习题

求解limn(1+1n)n

$$\begin{align} \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n & = e^{\lim_{n \to \infty}ln(1+\frac{1}{n})^n} \ \ % \text {代入Δx=1n后,上式}

& = e^{\lim\_{\Delta x \to 0}\frac{ln(1+\Delta x)-ln(1)}{\Delta x}}
\ \\\\
& = e^{\frac{d}{dx}ln(x)|\_{x=1}}
\ \\\\
& = e

\end{align} $$

补充:ln(1)=0

拓展:e的数值近似求解e(1+1100)100

6 参考

MIT—单变量微积分笔记06 指数和对数

#指数 #自然常数 #对数

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