1 指数（exponential）的导数Part1
$$\frac{d}{dx}a^x=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=M(a)a^x$$
- 其中$a$表示某一固定常数，$M(a)$表示某一固定函数值
- 当$x=0$时，$M(a)a^x=M(a)$
- $M(a)$表示指数函数在$x=0$处的斜率
- 只要知道一处的斜率，就能推导出指数函数在任意处的斜率
2 自然常数e
定义唯一数$e$，确保$M(e)=1$ 令$a=e$，带入指数求导 $$\frac{d}{dx}e^x=M(e)e^x=e^x$$ 以$e$为底的对数被称为自然对数$log_e(x)=ln(x)$
$e$的存在性证明
- 随意设定$a=2$，则$f(x)=2^x$且${f}'(0)=M(2)$
- 对函数进行$x$轴的伸缩变换，设变换比例为$k$，则$f(kx)=2^{kx}$
- 令$b=2^k$可得$f(kx)=b^{x}$
- 在$x=0$处求导，$f'(kx)|_{x=0}=kf'(0)=kM(2)$
- 当$k=\frac{1}{M(2)}$时，$f'(kx)|_{x=0}=\frac{d}{dx}d^x1|_{x=0}=1$
- 对于任意的$a=a_0$，都可以通过变换$k=\frac{1}{M(a_0)}$使得$b=e$
- 所以e是存在的
3 指数（exponential）的导数Part2
理解自然常数$e$后，可继续进行指数导数的推导 $$\frac{d}{dx}a^x=\frac{d}{dx}e^{ln(a)x}=ln(a)e^{ln(a)x}=ln(a)a^x$$ 所以$M(a)=ln(a)$
4 对数（logarithm）的导数
$$\frac{d}{dx}ln(x)=\frac{1}{x}$$
证明过程
- 令$w=ln(x)$，则$e^w=x$
- 两侧求导可得$\frac{d}{dx}e^w=\frac{d}{dx}x=1$
- 根据链式法则可得$(\frac{d}{dx}e^w)(\frac{dw}{dx})=1$
- 化简可得$\frac{dw}{dx}=\frac{1}{e^w}=\frac{1}{x}$
5 练习题
求解$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$
$$\begin{align} \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n & = e^{\lim_{n \to \infty}ln(1+\frac{1}{n})^n} \ \\ % \text {代入$\Delta x=\frac{1}{n}{}$后，上式}
& = e^{\lim\_{\Delta x \to 0}\frac{ln(1+\Delta x)-ln(1)}{\Delta x}}
\ \\\\
& = e^{\frac{d}{dx}ln(x)|\_{x=1}}
\ \\\\
& = e
\end{align} $$
补充：$ln(1)=0$
拓展：$e$的数值近似求解$e \approx(1+\frac{1}{100})^{100}$
6 参考
