1 指数(exponential)的导数Part1
- 其中
表示某一固定常数, 表示某一固定函数值 - 当
时, 表示指数函数在 处的斜率- 只要知道一处的斜率,就能推导出指数函数在任意处的斜率
2 自然常数e
定义唯一数
的存在性证明
- 随意设定
,则 且 - 对函数进行
轴的伸缩变换,设变换比例为 ,则 - 令
可得 - 在
处求导, - 当
时, - 对于任意的
,都可以通过变换 使得 - 所以e是存在的
3 指数(exponential)的导数Part2
理解自然常数
4 对数(logarithm)的导数
证明过程
- 令
,则 - 两侧求导可得
- 根据链式法则可得
- 化简可得
5 练习题
求解
$$\begin{align}
\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n & =
e^{\lim_{n \to \infty}ln(1+\frac{1}{n})^n}
\ \ %
\text {代入
& = e^{\lim\_{\Delta x \to 0}\frac{ln(1+\Delta x)-ln(1)}{\Delta x}}
\ \\\\
& = e^{\frac{d}{dx}ln(x)|\_{x=1}}
\ \\\\
& = e
\end{align} $$
补充:
拓展:
的数值近似求解