个人笔记

1 指数（exponential）的导数Part1

$$\frac{d}{dx}{a}^x=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{x+\mathrm{\Delta }x}-a^x}{\mathrm{\Delta }x}=a^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}=M(a)a^x$$

• 其中$a$表示某一固定常数，$M(a)$表示某一固定函数值
• 当$x=0$时，$M(a)a^x=M(a)$
• $M(a)$表示指数函数在$x=0$处的斜率
• 只要知道一处的斜率，就能推导出指数函数在任意处的斜率

2 自然常数e

定义唯一数$e$，确保$M(e)=1$ 令$a=e$，带入指数求导 $$\frac{d}{dx}{e}^x=M(e)e^x=e^x$$ 以$e$为底的对数被称为自然对数$lo{g}_e(x)=ln(x)$

$e$的存在性证明

• 随意设定$a=2$，则$f(x)=2^x$且$f^{\prime }(0)=M(2)$
• 对函数进行$x$轴的伸缩变换，设变换比例为$k$，则$f(kx)=2^{kx}$
• 令$b=2^k$可得$f(kx)=b^x$
• 在$x=0$处求导，$f^{\prime }(kx){|}_{x=0}=k{f}^{\prime }(0)=kM(2)$
• 当$k=\frac{1}{M(2)}$时，$f^{\prime }(kx){|}_{x=0}=\frac{d}{dx}{d}^{x}1{|}_{x=0}=1$
• 对于任意的$a=a_0$，都可以通过变换$k=\frac{1}{M(a_0)}$使得$b=e$
• 所以e是存在的

3 指数（exponential）的导数Part2

理解自然常数$e$后，可继续进行指数导数的推导 $$\frac{d}{dx}{a}^x=\frac{d}{dx}{e}^{ln(a)x}=ln(a)e^{ln(a)x}=ln(a)a^x$$ 所以$M(a)=ln(a)$

4 对数（logarithm）的导数

$$\frac{d}{dx}ln(x)=\frac{1}{x}$$

证明过程

• 令$w=ln(x)$，则$e^w=x$
• 两侧求导可得$\frac{d}{dx}{e}^w=\frac{d}{dx}x=1$
• 根据链式法则可得$(\frac{d}{dx}{e}^w)(\frac{dw}{dx})=1$
• 化简可得$\frac{dw}{dx}=\frac{1}{e^w}=\frac{1}{x}$

5 练习题

求解$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$

$$\begin{align} \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n & = e^{\lim_{n \to \infty}ln(1+\frac{1}{n})^n} \ \ % \text {代入$\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{n}$后，上式}

& = e^{\lim\_{\Delta x \to 0}\frac{ln(1+\Delta x)-ln(1)}{\Delta x}}
\ \\\\
& = e^{\frac{d}{dx}ln(x)|\_{x=1}}
\ \\\\
& = e

\end{align} $$

补充：$ln(1)=0$

拓展：$e$的数值近似求解$e\approx (1+\frac{1}{100}{)}^{100}$

6 参考

MIT—单变量微积分笔记06 指数和对数

#指数 #自然常数 #对数