个人笔记

1 定积分（definite integral）

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

• 其中$F(x)$是$f(x)$的原函数，$[a,b]$是$x$的区间范围
• 相比于不定积分有区间上下限的限制，排除了常数$c$
• 定积分表示在某个区间上函数曲线与$x$轴所围成的面积

2 定积分通解-面积近似法

• 沿着$x$轴垂直切割图像，然后得到很多矩形
• 多个矩形面积的加和就是面积的近似值

3 定积分求解

例：计算$y=x^2$从$0$到$b$的面积

解析解

• $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+c$
• ${\int }_0^b{x}^{2}dx=(\frac{b^3}{3}+c)-(\frac{0^3}{3}+c)=\frac{b^3}{3}$

面积近似

• 在0到b之间划分为n份

$$\begin{array}{rl}S& \approx \frac{b}{n}f(\frac{b}{n})+\frac{b}{n}f(\frac{2b}{n})+...+\frac{b}{n}f(\frac{nb}{n})\\ & =\frac{b}{n}(\frac{b}{n}{)}^2+\frac{b}{n}(\frac{2b}{n}{)}^2+...+\frac{b}{n}(\frac{nb}{n}{)}^2\\ & =(\frac{b}{n}{)}^2(1+2^2+3^2+...+n^2)\end{array}$$

• 其中$(1+2^2+3^2+...+n^2)$可以通过几何法快速求解
• $(1+2^2+3^2+...+n^2)$可以看作高为$1$的砖块堆砌$n$层的金字塔体积
• 金字塔体积最底层体积为$1\times n^2$，最高层体积为$1$
• 金字塔体积$V$介于两个锥体之间（即下图中绿色锥体和红色锥体）

• 由此可得$\frac{n^3}{3}<V<\frac{(n+1{)}^3}{3}$
• $S=(\frac{b}{n}{)}^{2}V$，随着$n\to \mathrm{\infty }$，可得$S=\frac{b^3}{3}$

4 黎曼和（Riemann sum）

$$\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}{\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^{n}f(x_i)\mathrm{\Delta }x={\int }_a^{b}f(x)dx$$

积分可以解释为一种累积和

应用：计算欠款累积

• 设本金为$P$，利率为$r$，则经过时间$T$后，总欠款为$P{e}^{rT}$
• 假设每天借一次钱，每次借钱数符合函数$f(t)$，单位是 "美元/年"
• 年末欠款累积为${\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^{365}[f(\frac{i}{365})\mathrm{\Delta }t]e^{r(1-\frac{i}{365})}={\int }_0^{1}f(t)e^{r(1-\frac{i}{365})}dt$
• 其中$i$表示第$i$天借款，距离还款天数为$(365-i)$；$\mathrm{\Delta }t=\frac{1}{365}$年

5 参考

MIT—单变量微积分笔记18 定积分

#定积分 #黎曼和