王半仙的学习分享

1 极坐标与面积

半径为$a$的圆的面积为$A=\pi a^2$

其中角度为$\Delta \theta$的扇形面积为$\Delta A$，则$\Delta A=\frac{\Delta \theta}{2\pi}\pi a^2=\frac{1}{2}a^2\Delta \theta$

无限细分角度，可得$dA=\frac{1}{2}a^2d\theta$，则$A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{1}{2}a^2d\theta$

对于一些不规则的类圆图形，可引入参数方程，令$r=r(\theta)$

2 极坐标与面积示例

题目1：计算$r=2acos\theta(-\frac{\pi}{2}\geq \theta\geq \frac{\pi}{2})$时，所构图像面积$A$

$A=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}(2acos\theta)^2d\theta =\pi a^2$

• $r=2acos\theta$构建的图像就是圆心在$(a,0)$，半径为$a$的圆
• 此题目也是从定积分的角度得出了圆的面积公式

题目2：绘制$r=sin2\theta$的函数图像

• 选择不同的$r$与$\theta$的特殊点，构建表格并用于绘图
• 最终的函数图像被称之为四叶玫瑰（four-leaf rose）

题目3：绘制$r=\frac{1}{1+2cos\theta}$的函数图像

• 选择不同的$r$与$\theta$的特殊点，构建表格并用于绘图
• 当$2cos\theta =1$，即$\theta= \pm\frac{2}{3}\pi$时，$r$趋近于无穷
• 将参数方程转为指标坐标系方程：$r=1-2rcos\theta=1-2x$
• 由$r^2=(1-2x)^2=x^2+y^2$可得，$-3x^2+y^2+4x-1=0$
• 上式为双曲线（hyperbola）函数
• 当$\theta \in [-\frac{2}{3\pi},\frac{2}{3\pi}]$时，对应双曲线的另一条

补充：双曲线、开普勒定律与角动量守恒

• 双曲线是彗星的轨道，椭圆则是行星或小行星的轨道
• $r=0$时对应的是双曲线的焦点，即太阳所在，这也是物理绘图时把重心作为坐标原点的依据
• $dA=\frac{1}{2}r^2d\theta$是天文学的核心公式，以开普勒定律（行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等）为例
• $\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}=C$，这说明在无摩擦的情况下，物体旋转后会以大致相同的比率继续旋转（也就是角动量守恒 conservation of angular momentum）
• 由于$C$是不变的（只取决于中心质量，如太阳），所以当减小$r$时，$\frac{d\theta}{dt}$会变大，这也是滑冰运动员让自己蜷缩时会增大转速的原因

3 Unit 4 知识点简单概括

截止到第三十节课，本课程的第四单元部分内容已完成，内容脉络简单梳理如下：

• 特定三角函数的积分通解（三角替换）
• 借助换元法和配方法研究带三角函数的积分求解
• 借助“掩盖”法对积分公式中的线性因子进行拆分，以简化计算
• 借助分部积分法对部分特殊的积分进行简化
• 研究参数方程，并结合积分进行弧长、面积的求解

4 参考

MIT—单变量微积分笔记33 复习四