9.《机器学习与神经网络》提高神经网络的泛化能力
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本节课介绍了处理模型过拟合的常见方法（正则化项、惩罚因子），并展示了基于贝叶斯解读的一种实践有效的惩罚因子调参方法。

1 回顾过拟合

Reminder：Overfitting

训练数据中不仅蕴含着正确的规律/知识值得学习，也会存在偶然的错误（采样误差），而当模型学习到这类错误时就会出现泛化能力的下降——过拟合

如何防止过拟合：

  1. 更多的数据（算力充足情况下的最优解，力大飞砖！）
  2. 选择合适复杂度的模型（拟合到真实的规律，忽略偶然的错误）
  3. 融合多种类型的模型（三个臭皮匠，顶个诸葛亮）
  4. 贝叶斯方法，融合同一神经网络在不同的参数值下的预测结果（详见第4小节）

如何选择合适复杂度的模型（方法2）

  • 网络架构：限制隐藏层数据或每层的神经元数，实现对参数量的控制
  • 早停（Early stopping）：初始参数值较小，并在过拟合前停止训练
  • 正则项惩罚：通过L1或L2正则来惩罚过大的权重，约束模型复杂度
  • 噪音：在参数值或激活函数中添加噪声（类似于数据增强），提高模型鲁棒性

1.1 超参选择与交叉验证

可能的超参：隐藏层单元数、正则项系数等

超参选择方法：交叉验证

  • 将数据集拆分为三个子集：训练集、验证集、测试集
  • 训练集用来训练模型，验证集用来指导超参的选择
  • 测试集用来评估最终的模型表现（一般性能表现略低于验证集）

K折交叉验证：

  • 划分出测试集后，将剩余数据划分为K份
  • 每次使用其中的K-1份训练，用剩下的第K份验证
  • 轮换训练K次后，得到关于超参的K次估计结果

1.2 早停（Early stopping）

早停，提前停止法（Early stopping）：使用较小的参数值对模型进行初始化，之后训练更新模型并定期使用验证集检验模型效果，在效果变差时停止训练

当模型在验证集的效果达到最大时，模型最有可能学习到必然规律；而当模型在验证集上的性能开始下降时，则说明模型可能在学习不必要的偶然错误

问：为什么参数值小，模型的复杂度低？

答：当参数值很小的时候，对logistic函数来讲，输入接近0，则输出将恰好处于其线性的部分，所以整个网络都是接近线性的。从另一个角度来说，参数值接近0也限制了模型的整体参数量

2 限制参数的大小

Limiting the size of the weights

2.1 正则项惩罚

假设误差函数为E，则添加L2正则项的成本函数C可表示如下： $$C=E+\frac{\lambda}{2}\Sigma_i w_i^2$$ 对$w_i$求偏导可得： $$\frac{\partial{C}}{\partial{w_i}}=\frac{\partial{E}}{\partial{w_i}}+\lambda w_i$$ 令$\frac{\partial{C}}{\partial{w_i}}=0$，可得此时的$w_i=-\frac{1}{\lambda}\frac{\partial{E}}{\partial{w_i}}$

所以L2正则通过向误差函数添加一个额外项来惩罚过大的参数值，当成本函数C处于最小值时（$\frac{\partial{C}}{\partial{w_i}}=0$），除非误差导数$\frac{\partial{E}}{\partial{w_i}}$相对较大，否则参数$w_i$会保持较小参数值，从而避免模型出现无效的高值参数。

L2正则项的好处：

  • 避免网络使用不必要的权重来拟合“偶然误差”，增强模型的泛化能力
  • 参数值较小，此时logistic函数输出变化比输入小，模型更加“平稳”
  • 对于两个相似的输入，具备正则项的神经元会更趋于权重均衡，而不是顾此失彼

相比于L2，L1正则项的惩罚会更激进（椭圆形函数图像 VS “V”字形函数图像），L1正则项会强制权重的绝对值尽量小，更容易减少/淘汰参数量

2.2 权重限制

除了成本惩罚，还可以对权重进行限制：

  • 尽量避免权重值的范数（平方和）超过设定上限
  • 惩罚效果由梯度（更新量）最大值绝对，不需要将所有权重都推向0

3 使用噪音作为正则项

Using noise as a regularizer

对输入添加高斯噪声，即输入变为$x_i+N(0,\sigma^2_i)$，经由权重$w_i$放大后，最终 的输出也会带有高斯噪声，即输出变为$y_j+N(0,w^2_i \sigma^2_i)$

当模型训练时最小化成本函数（平方误差）时，也会最小化$N(0,w^2_i \sigma^2_i)$这一项，因此高斯噪声的添加可以看作为权重$w_i$增加了一个系数为$\sigma^2$的L2正则项

关于高斯噪声等价于系数为$\sigma^2$的L2正则项证明，可参见下图：

对于更复杂的网络，也可以添加高斯噪声的方式来限制网络的能力。此时这种做法不再等价于使用L2惩罚项，但效果依然出色，尤其是针对RNN这类模型

激活函数也可以添加噪声（正向传播时随机输出0/1，但反向传播依然用真实值），但这种方法在训练集会导致模型效果变差，训练速度变慢；在测试集上则有一定的效果

4 贝叶斯方法

Introduction to the Bayesian Approach

贝叶斯方法考虑所有可能的超参数组合及生成给定数据集的概率

4.1 贝叶斯框架

贝叶斯框架：

  • 所有的事物都存在先验分布（这一先验分布可能是模糊的）
  • 根据真实/观测数据，综合先验分布和似然估计项得到后验分布
  • 似然估计项可以根据给定的超参组合，生成对应观测数据的概率分布
  • 当数据充足时，似然估计项便足够准确，并逐渐接近真实的概率分布

在数据充足的情况下，似然估计能够“克服”先验分布的局限性/模糊性

抛硬币-举例说明：

  • 抛硬币的结果是随机独立事件，正面概率为p，反面概率为1-p
  • 因此对于抛硬币的建模，只包含一个需求求解的参数：p
  • 在投掷100次后，正面出现的次数为53，因此可得p=0.53
  • 用贝叶斯框架思考，此时对应的似然估计项为$P(D)=p^{53}(1-p)^{47}$
  • 通过最大似然估计（$dP(D)/dp=0$）求解可得，p=0.53

4.2 参数的概率分布

最大似然法会选择超参p的值为0.53，但可能p=0.5才是更合理的选择；为了避免对单一答案的接受或拒绝，可以考虑参数p的所有可能取值并借助贝叶斯定理求解概率分布：

  • 先验分布假设参数W的不同取值概率是相同的
  • 根据观察到的数据D，可推测参数W的后验概率：

  • 参数W给定数据D的后验分布，等于W的先验分布与给定W条件下观察到数据D的概率的乘积，最终再使用P(D)进行归一化；由于P(D)不依赖于W，因此有时可忽略。

5 用贝叶斯解释正则项惩罚

使用正则项惩罚手段模型的训练，就是在试图找出一组超参，能够同时满足关于参数值W的先验知识与数据集D的后验概率分布。这种方法也被称为最大后验估计（Maximum A Posteriori, MAP）

5.1 MLE 最大似然估计

假设模型预测值为$y$，真实值$t$可看作来自预测值+高斯噪声分布的结果： $$p(t_c|y_c)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}exp{-\frac{(t_c-y_c)^2}{2\sigma^2}}$$ 等式两边取对数，可得结果： $$-\log p(t_c|y_c)=k+\frac{(t_c-y_c)^2}{2\sigma^2},k=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}$$ 等式左侧可看作代价/成本函数，其描述了真实值在给定预测值条件下的概率负对数（负的最大似然估计）；右侧可看作真实值和预测值间的距离平方和，只不过有额外的系数和常数项

一般模型的训练过程是在不断追求成本/代价函数的最小化，也就是预测准确的概率（似然估计）最大化，也是预测误差（距离平方和）最小化

5.2 MAP 最大后验估计

由于神经网络涉及的参数量较多，所以很难使用贝叶斯方法直接估计所有参数值的后验分布；一种可行的方式是直接使用蒙特卡洛模拟（Monte Carlo）法对正则项系数进行深入理解

本小节则通过构建以下几点假设，借助MAP算法对建模过程进行定性分析：

  1. 假设模型参数为$W$，对应的可观测数据（训练集）为$D$
  2. 假设不同样例间（比如输入为第$c$个样本$input_c$）是iid（独立同分布）
  3. 假设不同参数间（比如第$i$个参数是$w_i$）是iid（独立同分布）
  4. 假设参数值$w$服从均值为$w$，标准差为$\sigma_W$的正态分布
  5. 真实值$t$存在噪音，噪音满足均值为$0$，标准差为$\sigma_D$的正态分布

上文已证明高斯噪声等价于L2正则项，因此假设5其实是为了添加对正则项的实验分析

由假设1和假设2可知： $$p(D|W)=\prod_cp(t_c|W)=\prod_cp(t_c|f(input_c,W))=\prod_cp(t_c|y_c)$$ 等式两边取对数，可得结果： $$\log p(D|W)=\Sigma_c\log p(t_c|W)=\Sigma_c\log p(t_c|y_c)$$ 定义MAP的代价/成本函数为$-\log p(W|D)$，借助贝叶斯定理可得： $$-\log p(W|D)=-\log p(W)-\log p(D|W)+\log p(D)$$ 通过假设3和假设4可知上式右侧第一项中概率密度$p(w)$为： $$p(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}exp{-\frac{w^2}{2\sigma_W^2}} \Rightarrow -\log p(W)=-\Sigma_i \log p(w_i)=k+\Sigma_i\frac{w_i^2}{2\sigma_W^2}$$ 根据假设5以及上文已有的公式，对公式中第二项进行转化： $$-\log p(D|W)=-\Sigma_c\log p(t_c|y_c)=\Sigma_c\frac{(t_c-y_c)^2}{2\sigma_D^2}$$ 公式第三项与$W$无关，可忽略；最终MAP的代价/成本函数可简化为： $$C^{\ast}=\frac{1}{2\sigma_D^2}\Sigma_c(t_c-y_c)^2+\frac{1}{2\sigma_W^2}\Sigma_iw_i^2$$ 两边同时乘以$2\sigma^2_D$，可得： $$C=\Sigma_c(t_c-y_c)^2+\frac{2\sigma_D^2}{2\sigma_W^2}\Sigma_iw_i^2=E+\frac{2\sigma_D^2}{2\sigma_W^2}\Sigma_iw_i^2$$ 最终结果的$E$表示神经网络常用的误差函数（平方误差），而第二项则表示正则项惩罚，其中的正则项系数为$\frac{2\sigma_D^2}{2\sigma_W^2}$，此时系数不再是超参，而是可以确定的值

原本的超参需要根据交叉验证集反复尝试才能得到，但那只是类似于蒙特卡洛模拟的无奈之举；在理解了MAP的原理后，可以发现正则项系数其实不是人为设定的超参数，而是具备合理的高斯解释：即两个分布（参数分布 VS 真实值的噪音分布）的方差比

最大后验估计（MAP）在最大似然估计（Maximum Likelihood Estimate，MLE）的基础上考虑到了估计值$w$的先验分布；从最终结果来看，也可以看作是添加正则项后的最大似然估计

6 MacKay法设定正则项惩罚

早在1990s MacKay就根据正则项的贝叶斯解释，提出了一种设定正则的方法：

  • 该方法不需要验证集，也不需要使用启发式方法搜寻最佳超参
  • MacKay法首先随机初始化参数先验分布的方差和噪声分布方差，将两个方差的比值作为正则项的系数，然后训练模型并更新参数
  • 将训练结果的残差方差设为噪声分布的方差，再根据训练后参数的实际分布估计参数方差；根据两个方差的比值得到新的正则项系数；
  • 最后重复以上步骤，直到训练后参数满足零均值高斯分布

这一技巧被称为”empirical Bayes“，原理无法解释，但实践效果很不错

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