本文中大部分算法都可通过R语言的latend包复现
1 GBTM
轨迹分组算法（Group-based trajectory model，GBTM）
- 最早由 Daniel Nagin 于 1999 年在知名心理学方法学杂志「Psychological Methods」开始推展
- 接着由 Bobby Jones 与 Daniel Nagin 于 2001 年发表了 SAS procedure2，于是此方法慢慢开始流行
- 一般要求每个样本的轨迹/特征序列的长度≥3（2个也可以分析，但缺少临床意义）
假设结果变量为$y$，其在某一个轨迹分组$j$中的轨迹曲线可表示如下（基于时间$t$的多项式回归）： $$y^j=\beta_0^j+\beta_1^jt+\beta_2^jt^2+\beta_3^jt^3$$
- 上式相当于对指定分组内样本，进行多项式回归；不同组间的回归系数和截距项都是独立的
- 多项式一般很少超过三次项（对应两个转折点）；注意剔除不显著的高次项，一次项可酌情保留
确定分组轨迹和数量
- 模型评价一般使用AIC准则或者BIC准则，理论上可以穷举所有可能的分组来找到最佳分组
- BIC最常用，BIC 永远都是负值，数字越大（越接近零）代表该模式相对的表现越好
- 以较为复杂模型的 BIC 减较为简单模型的 BIC，再乘以 2 倍，若相减之后为正值且小于 2 表示有薄弱证据显示复杂模式的表现比较好、2～6表示中度证据（Moderate evidence）、6～10是强烈证据（Strong evidence）以及超过 10 的话是非常的强烈证据
- 针对不同分组数量的模型计算平均BIC，然后通过Softmax函数得到不同分组数量的预估概率
确定样本的分组：
- 确定分组轨迹和数量后，根据后验概率将每个样本分配给最佳轨迹；理想情况下，每个轨迹应保持组成员数量占比至少为 5%（如果样本量比较大，那么可以酌情下调这一占比阈值，比如1000样本可以考虑3%作为阈值，这样能确保每组至少30个样本）
- 针对每组样本可计算平均后验概率，一般认为平均后验概率高于70%~80%为有效分组
进阶资料： 轨迹建模相关预研
实际体验不是很好，拟合能力比较差，遍历分组的计算成本较高
2 GMM及其变种
2.1 潜变量增长模型 LGM
传统的潜变量增长曲线模型（Latent Growth Model，LGM）可采用线性、二次、更高次曲线或分段函数来模拟纵向数据的轨迹，以线性函数为例，模型对应的拟合函数如下：
$$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} y_{it} = \alpha_{i} + \beta_{it} + \epsilon_{it} \ \\ \alpha_{i} = \alpha_{0}+\mu_{\alpha i} \ \\ \beta_{i} = \beta_{0}+\mu_{\beta i} \end{gathered} \right. \end{equation}$$
- 其中，$y_{it}$表示个体$i$在测量时点$t$(年龄)的因变量值；$\epsilon_{it}$为随机误差
- $\alpha_{i}$为个体$i$的截距，即个体指标的初始水平，$\beta_{i}$为个体$i$的斜率，即个体i指标的发展速度
- $\alpha_{0}$和$\beta_{0}$分别为群体的平均截距和平均斜率，也称为固定效应
- $\mu_{\alpha i}$和$\mu_{\beta i}$分别为个体$i$的截距和斜率的变异程度，也称为随机效应
- 此线性模型的潜变量为截距潜变量和斜率潜变量
LGM有时也会被称为latent growth curve model，简称LGCM
2.2 潜变量混合增长模型 GMM
潜变量混合增长模型（Growth Mixture Modeling，GMM）在LGCM的基础上增加了分类潜变量，可以将存在异质性的群体分成若干个亚群，描述各个亚群的发展轨迹及其内个体的发展变化的差异，该模型存在两种潜变量：
- (1)连续潜变量，包含增长特征参数，即随机截距、随机斜率或随机加速度等因子
- (2)分类潜变量：将研究群体分成互斥的亚群来描述群体的异质性
GMM模型的表达公式如下(以线性函数为例)：
$$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} y_{it} = P(C=k)\cdot (\alpha_{ik} + \beta_{itk} + \epsilon_{itk}) \ \\ \alpha_{ik} = \alpha_{0k}+\mu_{\alpha ik} \ \\ \beta_{ik} = \beta_{0k}+\mu_{\beta ik} \end{gathered} \right. \end{equation}$$
- 分类潜变量$C$表示群体可分成的若干个亚群，共包含$k$个类别；$P(C=k)$表示个体$i$属于第$k$类的概率
- 其他变量和LGCM相似，只不过原本群体的固定效应和随机效应变为了特定亚群（第$k$类）的效应
混合增长模型可以看作是潜增长模型（latent growth model）和潜分类模型（latent class model）的组合
2.3 潜类别增长模型 LCGM
潜类别增长模型（Latent Class Growth Model，LCGM）是GMM模型的特例，与GMM模型使用随机系数来估计个体的斜率和截距不同，LCGM模型假设在同一亚组内个体的斜率和截距均相同，类别组内的发展轨迹不存在个体差异。
LCGM模型的表达公式如下(以线性函数为例)： $$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} y_{it} = P(C=k)\cdot (\alpha_{ik} + \beta_{itk} + \epsilon_{itk}) \ \\ \alpha_{ik} = \alpha_{0k} \ \\ \beta_{ik} = \beta_{0k} \end{gathered} \right. \end{equation}$$
- 同一亚组内，不存在个体的变异（随机效应），即$\mu_{\alpha ik}=\mu_{\beta ik}=0$
潜在转换分析（Latent Transition Analysis, LTA）是LCGM下属的单独分析技术，用于确认个体类别属性是否随时间变化
2.4 潜变量模型的评价
模型拟合优劣的评价指标：
- 模型拟合评价指标有AIC 、BIC、aBIC（最推荐）、Entropy，前三个指标越小说明模型拟合情况越好
- Entropy评价模型分类的精确性，取值在0～1，一般大于0.8认为该模型的分类精确性较高。
- 模型亚组分类比较包括VLRT和BLRT检验，当比较含k类的模型与k-1类模型拟合情况时，若检验结果P<0.05，则表示含k个亚类的模型更好，反之，则k-1类模型拟合较好。
3 其他方法
K-means：输入特征可考虑时序相关的特征
K-Shape：高效精准的时序聚类算法K-Shape
进阶阅读资料：轨迹建模相关预研