前置知识：因果效应评估_准实验、因果效应评估_异质性 、双重机器学习 DML
双向固定效应
双向固定效应（Two Way Fixed Effect，TWFE）
- 作为双重差分法 DID 的一种常见回归模型实现方式
- TWFE 假设干扰效应是常量，并引入个体/时间的固定效应
- 对于不同组的干预时间相同的情况，TWFE 和 DID 是等价的
当出现不同组的干预时间不同的情况，即错位实施（Staggered Adoption），TWFE 对干预效应的评估容易存在偏差，尤其是干预效应存在时间异质性的情况
简单来说，TWFE 会将早期干预组的干预效应看作“共同的时间趋势”，从而导致晚期干预组的效应估计被严重低估；此问题的处理将放在下文的"TWFE 改进"一章中进行讨论
TWFE 示例
案例说明：
- 目的：评估软件新功能上线对不同城市 APP 安装量的影响
- 上图中三条趋势分别代表三个城市的 APP 安装量；其中红色城市的软件新功能上线时间为 2021-06-01；蓝色城市的软件新功能上线时间为 2021-07-15；紫色城市作为对照组，软件新功能未上线
TWFE 的公式定义如下： $$ Install_{it} = \tau D_{it} + \gamma_i + \theta_t + e_{it} $$
- 其中 $D_{it}$ 表示干预变量，其系数 $\tau$ 对应干预效应的估计；在本案例中，$D_{it}$ 描述了城市 $i$ 在时刻 $t$ 是否上线了新功能；新功能如果已经上线则 $D$ 为 1，否则为 0
- $\gamma_i$ 作为个体固定效应，用来消除个体/组别间的差异；一般是对个体/组别的基准描述（比如城市文化或产品契合度）
- $\theta_t$ 则作为时间固定效应，用来消除时间趋势上的差异；一般每个时间段内都需要统计的外生因素（比如特定时期的基准安装量）
由于虚拟变量过多，因此考虑借助双重机器学习 DML 的思想，对回归模型进行拆分： $$ \begin{align} \tilde{Installs}_{it} &= Installs_{it} - \underbrace{\frac{1}{T}\sum_{t=0}^T Installs_{it}}_\text{Time Average} - \underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=0}^N Installs_{it}}_\text{Unit Average} \\ \ \\ \tilde{D}_{it} &= D_{it} - \frac{1}{T}\sum_{t=0}^T D_{it} - \frac{1}{N}\sum_{i=0}^N D_{it} \end{align} $$ 最后用 $\tilde{Installs}{it} = \tau \tilde D\{it} + e_{it}$ 来快速评估干预效应
TWFE 改进
已知当干预效应存在时间异质性，TWFE 会存在严重的效应估计偏差问题
为了解决这种情况，考虑对 TWFE 的函数形式进行改进，以捕捉时间异质性： $$ Installs_{it} = \sum_{g=0}^G \sum_{t=0}^T \tau_{gt} D_{it} + \gamma_i + \theta_t + e_{it} $$
- 其中 $G$ 表示队列的总数，$g$ 表示一个单独的队列
- 已知每个队列中的效应随着时间推移保持相同的模式
- 通过增加 $T*G$ 个干预效应参数，来捕捉时间异质性
更进一步地思考，干预前的日期效应是可以忽略的，对照组的日期效应也是可以忽略的；因此可以对 TWFE 的函数形式进一步简化，来减少需要处理的参数量： $$ Installs_{it} = \sum_{G=q}^g \sum_{t=g}^T \tau_{gt} D_{it} + \gamma_i + \theta_t + e_{it} $$
- 用条件 $g<q$ 来表示对照组的队列；用条件 $t<g$ 来表示干预前的日期