个人笔记

1 临界点与最值

临界点共有三种可能类型：

1. 局部极大值
2. 局部极小值
3. 鞍点

临界点的类别主要通过函数的二阶导实现判断

以$z=x^2$为例，此时$z$与$y$无关，临界点因此退化为线$x=0$

最值，即全局极大值或全局极小值，主要对比以下三种情况下的点：

1. 局部极值
2. 边界
3. 无穷远

2 二阶导检验

设$A=f_{xx},B=f_{xy}=f_{yx},C=f_{yy}$，二阶导检验方式如下：

1. $AC-B^2>0且A>0$，此时临界点为极小值
2. $AC-B^2>0且A<0$，此时临界点为极大值
3. $AC-B^2<

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1 切平面逼近

偏导描述的是只考虑一个自变量变化时，因变量的变化情况。而当所有自变量都发生变化时（$x\to x+\Delta x,y\to y+\Delta y$），因变量$z=f(x,y)$的变化符合以下公式： $$\Delta z \approx f_x\Delta x+f_y \Delta y$$

证明：

• 对于点$(x_0,y_0)$，假设其对应的函数值为$z_0$
• 先固定$y=y_0$，根据偏导的几何性质可得切线$L_1:z=z_0+f_x(x-x_0)$
• 再固定$x=x_0$，根据偏导的几何性质可得切线$L_2

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1 INI ⭐⭐⭐

INI：Initialization file的格式，最初为Windows系统中的基础配置文件格式

INI格式作为早期常见的配置文件格式，通常由节（Section）、键（key）和值（value）组成

缺点：不适合复杂的格式或多嵌套的情况

[localdb]  
host = 127.0.0.1  
user = root  
password = 123456  
port = 3306  
database = mysql

Python内置con

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1 多元函数的绘图

随着自变量的增多，单变量函数开始向多元函数演变。而由于收到维度的限制，函数的可视化一般局限于二元函数图像与三元函数的等值面图像。其中等值面通过固定多元函数的因变量为常数而得到，以函数$z=x^2+y^2$为例，其绘图过程如下：

1. 绘制坐标轴，一般采用右手坐标系
2. 特殊情况的全列举，比如选定$x=0$，绘制函数在$yz$平面上的图像；选定$y=0$，绘制函数在$xz$平面上的图像；选定$z=0$，绘制函数在$xy$平面上的图像
3. 选定$z=a$，其中$a$为任意常数，绘制多个等值面图像

密集的等值面图像可以直接构建多元函

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1 Unit 1 知识点简单概括

截止到第七节课，本课程的第一单元：向量和矩阵（Unit 1 Vectors and matrices）部分内容已完成，内容脉络简单梳理如下：

• 向量的定义和点乘（向量信息、点积的应用）
• 行列式和叉积（行列式几何意义、叉积与右手法则）
• 矩阵运算与逆矩阵（线性变换、伴随矩阵、代数余子式）
• 平面方程和参数方程（线性方程组、摆线轨迹）
• 向量与方程的综合应用（加速度、开普勒第二定律、万有引力）

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1 速度与加速度

由上一节5.直线和曲线的参数方程可知，向量$\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}$

且摆线轨迹$\vec{r}(\theta)=<a\theta-asin(\theta),a-acos(\theta)>$

定义速度： $$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=<\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}>$$

设半径$a=1$，则轨迹向量对应的速度$\vec{v}=

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1 直线的参数方程

假设$t=0$和$t=1$分别对应直线上的点$Q_0=(-1,2,2)$和$Q_1=(1,3,-1)$

易得$\overrightarrow{Q_0 Q(t)}=t\overrightarrow{Q_0 Q_1}$并且$Q(t)=(x(t),y(t),z(t))$，所以$Q(t)=Q_0+t\overrightarrow{Q_0 Q_1}$。即：

$$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} x(t) = -1+2t

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1 图像几何变换

将一幅图像中的坐标位置映射到另一幅图像中的新坐标位置

2D几何变换分类：

1. 刚体变换：主要操作包括平移+旋转，变换前后的欧式距离不变，自由度为3
2. 相似变换：主要操作包括平移+旋转+缩放，具有保角性，不同点之间的距离比保持不变，自由度为

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自编码器，一种借助神经网络结构进行无监督学习的算法，常用于降维

自编码器主要有两个部分组成

1. 编码器，用于将输入数据编码为低维稠密向量
2. 解码器，根据低维稠密向量解码还原输入向量

最简单的自编码器形式是一个前馈无循环的神经网络，如下所示：

（图源：维基百科-自编码器）

自编码器VS主成分分析（PCA）

• 自编码器是非线性降维，PCA是线性降维，前者效果一般更好
• 前者通过梯度下降法训练，训练速度慢且不容易收敛
• 后者通过特征分解直接计算，计算成本低效率高

#自编码器

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