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11.微分与链式法则

1 微分

微分近似地描述当函数自变量的微小改变时,函数值的变化情况

以最简单的函数$y=f(x)$为例,其对应的微分为:$dy=f'(x)dx$

以函数$f(x,y,z)$为例,其对应的全微分为: $$df=f_xdx+f_ydy+f_zdz$$

$df\neq \Delta f$,$\Delta f$是一个数值,而$df$更像是一种占位符,有时无法给出特定的值,通过对自变量进行赋值,$df$能计算得出切线/切平面的近似值

微分计算最常用的一种场景就是链式法则

2 链式法则

当$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$时,$f(x,y,z)$将变

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10.二阶导检验:边界与无穷

1 临界点与最值

临界点共有三种可能类型:

  1. 局部极大值
  2. 局部极小值
  3. 鞍点

临界点的类别主要通过函数的二阶导实现判断

以$z=x^2$为例,此时$z$与$y$无关,临界点因此退化为线$x=0$

最值,即全局极大值或全局极小值,主要对比以下三种情况下的点:

  1. 局部极值
  2. 边界
  3. 无穷远

2 二阶导检验

设$A=f_{xx},B=f_{xy}=f_{yx},C=f_{yy}$,二阶导检验方式如下:

  1. $AC-B^2>0且A>0$,此时临界点为极小值
  2. $AC-B^2>0且A<0$,此时临界点为极大值
  3. $AC-B^2<

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9.极值问题,最小二乘法

1 切平面逼近

偏导描述的是只考虑一个自变量变化时,因变量的变化情况。而当所有自变量都发生变化时($x\to x+\Delta x,y\to y+\Delta y$),因变量$z=f(x,y)$的变化符合以下公式: $$\Delta z \approx f_x\Delta x+f_y \Delta y$$

证明:

  • 对于点$(x_0,y_0)$,假设其对应的函数值为$z_0$
  • 先固定$y=y_0$,根据偏导的几何性质可得切线$L_1:z=z_0+f_x(x-x_0)$
  • 再固定$x=x_0$,根据偏导的几何性质可得切线$L_2

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8.等值面,偏导与切平面

1 多元函数的绘图

随着自变量的增多,单变量函数开始向多元函数演变。而由于收到维度的限制,函数的可视化一般局限于二元函数图像与三元函数的等值面图像。其中等值面通过固定多元函数的因变量为常数而得到,以函数$z=x^2+y^2$为例,其绘图过程如下:

  1. 绘制坐标轴,一般采用右手坐标系
  2. 特殊情况的全列举,比如选定$x=0$,绘制函数在$yz$平面上的图像;选定$y=0$,绘制函数在$xz$平面上的图像;选定$z=0$,绘制函数在$xy$平面上的图像
  3. 选定$z=a$,其中$a$为任意常数,绘制多个等值面图像

密集的等值面图像可以直接构建多元函

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7.多变量微积分-第一次复习

1 Unit 1 知识点简单概括

截止到第七节课,本课程的第一单元:向量和矩阵(Unit 1 Vectors and matrices)部分内容已完成,内容脉络简单梳理如下:

  • 向量的定义和点乘(向量信息、点积的应用)
  • 行列式和叉积(行列式几何意义、叉积与右手法则)
  • 矩阵运算与逆矩阵(线性变换、伴随矩阵、代数余子式)
  • 平面方程和参数方程(线性方程组、摆线轨迹)
  • 向量与方程的综合应用(加速度、开普勒第二定律、万有引力)

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6.加速度与开普勒第二定律

1 速度与加速度

由上一节5.直线和曲线的参数方程可知,向量$\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}$

且摆线轨迹$\vec{r}(\theta)=<a\theta-asin(\theta),a-acos(\theta)>$

定义速度: $$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=<\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}>$$

设半径$a=1$,则轨迹向量对应的速度$\vec{v}=

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5.直线和曲线的参数方程

1 直线的参数方程

假设$t=0$和$t=1$分别对应直线上的点$Q_0=(-1,2,2)$和$Q_1=(1,3,-1)$

易得$\overrightarrow{Q_0 Q(t)}=t\overrightarrow{Q_0 Q_1}$并且$Q(t)=(x(t),y(t),z(t))$,所以$Q(t)=Q_0+t\overrightarrow{Q_0 Q_1}$。即:

$$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} x(t) = -1+2t

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4.矩阵与平面方程

1 平面方程

方程$ax+by+cz=d$定义了一个平面,此方程的矩阵形式如下: $$\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right] =d$$ 上面的式子也可以整理如下: $$\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \\

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3.矩阵与逆矩阵

1 矩阵

矩阵(Matrices)常用于描述变量间的线性关系

以坐标轴$P=(x_1,x_2,x_3)$变换到$(u_1,u_2,u_3)$为例,假设二者间的线性关系如下所示: $$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} u_1 = 2x_{1} + 3x_{2} + 3x_{3} \ \\ u_2 = 2x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} \ \\ u_3 = x_{1} + x_{2} + 2x_

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2.行列式与叉积

1 点积与行列式

已知三角形面积的计算公式为$S=\frac{1}{2}absin\theta$

则由向量$\vec{A}$和$\vec{B}$组成的平行四边形面积为$S=|\vec{A}||\vec{B}|sin\theta$

设$\vec{A'}$为向量$\vec{A}$逆时针旋转$90°$的结果,$\vec{A'}$与$\vec{B}$的夹角为$\theta'=\frac{\pi}{2}-\theta$

则平行四边形面积为$S=|\vec{A'}||\vec{B}|cos\theta'=\vec{A

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