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$$\lim_{k \to \infty}a_k=\lim_{k \to \infty}(1+\frac{1}{k})^k=e$$
利用线性近似进行更简单的证明
- $ln(a_k)=k\times ln(1+\frac{1}{k})\approx k\times \frac{1}{k}=1$
二阶近似的性质
- $ln(a_k)=k\times ln(1+\frac{1}{k})\approx k\times (\frac{1}{k}-\frac{1}{2k^2})=1-\frac{1}{2k}$
- $
$$f(x) \approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$
以$x_0=0$且$x\approx 0$为前提，几种常见的函数线性近似：
- $sin(x) \approx x$
- $cos(x) \approx 1$
- $e^x \approx 1+x$
- $lm(1+x) \approx x$
- $(1+x)^r \a
$$\frac{d}{dr}x^r=rx^{r-1}$$ 其中$r \in$实数
快速证明 $$\frac{d}{dr}x^r=\frac{d}{dr}e^{ln(x^r)}=e^{ln(x^r)}\times r \times \frac{1}{x}=rx^{r-1}$$
股票指数，以FTSE100为例
- FTSE100全称为伦敦金融时报100指数，简称英国富时100指数
- 欧洲三大股票指数包括：30工业股、FT-100、综合
$$\frac{d}{dx}a^x=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=M(a)a^x$$
扩展$(x^n)'=nx^{n-1}$为$(x^a)'=ax^{n-1}$
扩展公式的证明：
- 转换$y=x^{\frac{m}{n}}$为$y^n=x^m$
- 由此可得$\frac{d}{dx}y^n=\frac{d}{dx}x^m=mx^{m-1}$
- 借助链式法则可得$\frac{d}{dy}y^n\frac{dy}{dx}=mx^{m-1}$
- 化简可得$\frac{dy}{dx}=\frac{mx^{m-
$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}$$
- $\frac{\Delta y}{\Delta x}$表示的是一种平均值
- $\frac{dy}{dx}$表示的是一种瞬时值
导数的几何解释
- 选择函数曲线上的点$P$，其坐标值为$(x_0,y_0)$
- $x_0$沿着x轴（x-axis）移
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