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31.斯托克斯定理

1 斯托克斯定理

关于格林公式的前置知识可参考之前的第22课时内容第23课时内容

格林公式可以看作斯托克斯(Stokes)定理在$xy$平面下的特例

当$C$为闭合曲线,包围着曲面$S$,则斯托克斯(Stokes)定理可表示如下: $$∮_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int \! \! \!\int_Scurl(\vec{F})\cdot d\vec{S}=\int \! \! \!\int_S(\nabla \times \vec{F})\cdot \hat{n}dS$$ 其中向量$\hat{n}$表示曲面

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30.空间线积分,保守场,旋度

1 课程回顾

上一节讲解的扩散方程主要由以下两部分组成:

  • 物理上,浓度$u$的流动是由高到低的,用$\vec{F}$描述这种流动(flow):$\vec{F}=-k\nabla u$
  • $\vec{F}$的散度可以描述浓度变化速度。$div\vec{F}=-\frac{\partial u}{\partial t}$

2 空间线积分

关于平面线积分的前置知识可参考之前的第19课时的内容

假设在空间向量场$\vec{F}=P\hat{i}+Q\hat{j}+R\hat{k}$的作用下,物体运动轨迹为$c$,则物体的

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29.散度定理证明和应用

1 散度定理的理解

在上一课时中,对于$\vec{F}=<P,Q,R>$的三维向量场,提出了散度定理: $$∯_S<P,Q,R>\cdot \hat{n}dS=\int \! \! \!\int \! \! \!\int_D (P_x+Q_y+R_z)dV$$

定义三维空间下的$Del$算子:$\nabla=<\partial{}/\partial{x},\partial{}/\partial{y},\partial{}/\partial{z}>$

对于普通三元函数$f$,$\n

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28.散度定理

1 通量的计算公式及证明

前情回顾:

  • 上一节提出了通量的计算(面积分):$Flux=\int !!! \int _S\vec{F}\hat{n}dS$
  • 示例1针对曲面法向量与向量场平行的特殊情况进行了计算过程展示
  • 示例2通过球坐标化的方法,先进行参数的变换,再进行后续的计算

以上的两种示例都属于现实中的特殊情况,本节课程则提出了更为通用的计算方法: $$Flux=\int \! \! \! \int _S\vec{F}\hat{n}dS=\pm \int \! \! \! \int _S\vec{F}\

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27.三维向量场,面积分和通量

1 三维向量场

与平面向量场类似,只不过维度为三: $$\vec{F}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=<x,y,z>$$

2 通量与面积分

三维向量场下的通量 - 描述单位时间内流体场$\vec{F}$通过表面$S$的流量: $$Flux=\int \! \! \! \int _S\vec{F}d\vec{S}=\int \! \! \! \int _S\vec{F}\hat{n}dS$$

  • 其中$\hat{n}$为面$S$的法向量
  • $dS$表示面积积元,和实际的切分方式有关
  • 常通过

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26.球面坐标,表面积

1 球坐标系下的三重积分

球坐标系是三维坐标系的一种,以坐标原点为参考点,点$P$的坐标由方位角$\theta$(线$OP$投影到$xy$平面后与$x$轴的夹角)、仰角$\phi$(线$OP$与$z$轴的夹角)和距离$\rho$(点到原点的距离)构成。经纬度就是球坐标系的一种常见形式,其中$\theta$与经度相似,$\phi$与维度相似。

球坐标化通过以下公式实现从$(x,y,z)$到$(\rho,\phi,\theta)$的转化: $$\begin{equation} \left

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25.直角坐标与柱坐标下的三重积分

1 直角坐标系下的三重积分

二重积分的几何意义是面积,三重积分的几何意义是体积,二者的计算也是可以类推的

举例:计算两个曲面$z = x^2+y^2$和$z = 4–x^2–y^2$围成的图形的体积

根据$x^2 + y^2\leq 4 – x^2 – y^2$推得$x,y$的限制条件:$x^2+y^2\leq 2$

将限制条件转化为积分上下限,可得以下计算公式: $$\int \! \! \! \int \! \! \! \int_R fdV=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{

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24.单连通区域,第三次复习

1 单连通区域

单连通区域$R$:由单一的一块组成的区域$R$,即没有“洞”的区域

要求:对于单连通区域$R$内存在的任意闭合曲线$C$,曲线$C$的区域也属于$R$

不满足以上要求的区域则被称为多连通区域,或复连通区域

在之前第21节课中曾提及判定梯度场的前提条件,即$\vec{F}$处处有定义可导。在了解单连通区域的定义后,可以发现此前提条件等价于$\vec{F}$的定义域是单连通区域:

如果$\vec{F}$的旋度是0,且$\vec{F}$的定义域是单连通区域,则$\vec{F}$是保守场/梯度场

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23.通量,完整的格林公式

1 通量

通量衡量沿着曲线前进时通过曲线的向量场多少,也可以用于描述单位时间内流体场$\vec{F}$通过曲线$C$的流量: $$∮_c\vec{F}\cdot \hat{n}ds$$

其中$\hat{n}$就是曲线$C$各点处的单位法向量(前进方向的右侧,右正左负是一种约定成俗)

2 通量的简单计算

部分情况下,可根据通量的定义进行直接计算

假设曲线$C$是圆心在原点,半径为$r$的逆时针旋转得到圆

情况1:$\vec{F}//\hat{n}$,可假设$\vec{F}=<x,y>$

$$∮_

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22.格林公式

1 格林公式

假设$C$为逆时针的封闭曲线,包围着区域$R$;如果向量场$\vec{F}$在曲线$C$和区域$R$处处有定义且处处可微,则存在格林公式使得线积分转化为双重积分: $$∮_c\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int \! \! \!\int_Rcurl(\vec{F})dA$$ 坐标形式的格林公式: $$∮_cMdx+Ndy=\int \! \! \!\int_R(N_x-M_y)dA$$

此处限制曲线$C$为逆时针是一种人为规定的方向,也就是一种约定成俗。就好像定义旋度$=N_x-M_y$,而不

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